Кольцов был «купеческим сыном», родился в Москве в семье бухгалтера крупной меховой фирмы. Блестяще окончил 6-ю Московскую гимназию. В 1890 году поступил на естественное отделение физико-математического факультета Московского университета, где специализировался в области сравнительной анатомии и сравнительной эмбриологии. Научным руководителем Кольцова в этот период был глава школы русских зоологов М. А. Мензбир.
В 1895 году Мензбир рекомендовал Кольцова по окончании университета к оставлению «для подготовки к профессорскому званию». С 1899 года Кольцов — приват-доцент Московского университета. После трёхлетних занятий и успешной сдачи шести магистерских экзаменов Кольцов был командирован на два года за границу. Работал в лабораториях Германии и на морских биостанциях в Италии. Собранный материал послужил основой для магистерской диссертации, которую Кольцов защитил в 1901 году. Работы Кольцова по биофизике клетки и, особенно, по факторам, определяющим форму клетки, стали классическими и входят в учебники.
Член-корреспондент АН СССР (1925; Петербургской академии наук — с 1916, Российской академии наук — с 1917), академик ВАСХНИЛ (1935).
В 1920 году Кольцов рассматривался как один из обвиняемых по делу «Тактического центра».
И был приговорён верховным ревтрибуналом в числе девятнадцати обвиняемых к расстрелу, однако расстрел был заменён, по одним данным, на условное тюремное заключение на пять лет, по другим, — на концентрационный лагерь до конца гражданской войны. После вмешательства М. Горького освобожден и восстановлен в должности директора Института экспериментальной биологии.
Скончался от инсульта в 1940, похоронен на Введенском кладбище в Москве.
Показал, главным образом на сперматозоидах десятиногих ракообразных, формообразующее значение клеточных «скелетов» (кольцовский принцип), действие ионных рядов на реакции сократимых и пигментных клеток, физико-химических воздействий на активацию неоплодотворённых яиц к развитию. Первым разработал гипотезу молекулярного строения и матричной репродукции хромосом («наследственные молекулы»), предвосхитившую главнейшие принципиальные положения современной молекулярной биологии и генетики (1928).
Кольцов подготовил плеяду известных биологов, таких как М. М. Завадовский, П. И. Живаго, И. Г. Коган, В. Г. Савич, М. П. Садовникова-Кольцова, А. С. Серебровский, С. Н. Скадовский, И. А. Рапопорт, Г. И. Роскин, Н. В. Тимофеев-Ресовский, С. Л. Фролова, Г. В. Эпштейн и др.