Родился 5 ноября (18 ноября по новому стилю) 1913 года в Санкт-Петербурге в семье служащего. Русский.
В 1937 году окончил радиотехническое отделение Ленинградского морского техникума и работал радистом на метеостанции Ленинградского управления Гидрометеослужбы.
С 1938 года — радист ледокола «Ермак», участвовал в походе «Ермака» с целью вывести из ледового плена ледокольный пароход «Георгий Седов». Эта попытка была безуспешной, но во время неё Н. Бекасов добровольцем вызвался участвовать в дрейфе «Георгия Седова» и был участником арктического дрейфа в Северном Ледовитом океане ледокольного парохода «Георгий Седов». В сложных арктических условиях радист Бекасов чётко выполнял свои обязанности, поддерживая устойчивую радиосвязь.
В 1940 году радист-полярник был направлен на учёбу в Ленинградскую промышленную академию, но успел окончить только один курс.
Участник Великой Отечественной войны. Был призван в РККФ и с 1942 года служил радистом эскадры кораблей Черноморского флота. Участвовал в морских походах и десантных операциях.
Когда 7 июля 1944 года Ленинградский морской техникум был реорганизован в Ленинградское высшее мореходное училище, Н.М. Бекасов был назначен заместителем начальника училища по учебной работе. В 1945 году окончил факультет связи Военно-морской академии. Назначен старшим инженером-радистом в отдел связи Тихоокеанского флота. Участник советско-японской войны 1945 года.
После войны продолжал службу в Военно-Морском Флоте СССР. С 1950 года служил на Балтийском флоте, в 1957?1959 годах — на Северном флоте, а с 1959 года снова на Балтийском флоте.
С 1962 года инженер-капитан 2-го ранга Бекасов Н.М. — в запасе, а затем в отставке. Жил и работал в городе Ленинграде.
Умер 19 сентября 2002 года. Похоронен в Санкт-Петербурге на Богословском кладбище.