Родился в 1875 году в Саратове.
Окончил физико-математический факультет Санкт-Петербургского университета (1898), по приглашению Н. С. Курнакова начал педагогическую и научную деятельность в ЭТИ. В 1906 году по инициативе профессора А. А. Кракау при деятельном участии Н. А. Пушина было образовано электрохимическое отделение ЭТИ, существовавшее до 1930 года.
В 1900-1904 годах опубликовал работы по диаграммам состояния металлических систем, за которые Русское физико-химическое общество присудило ему премию им. Н. Н. Бекетова. Установил воздействие больших давлений на равновесие в бинарных системах.
В 1909 году защитил в Московском университете диссертацию на степень магистра химии.
С 1909 году — профессор ЭТИ. Преподавал неорганическую и физическую химию, теоретическую и прикладную электрохимию. В 1909-1914 годах занимался исследованиями по получению алюминия электролизом расплавов. В 1913 году впервые получил 0,4 кг алюминия из русского сырья. За эту работу был награжден премией имени П. А. Ильенкова. Был членом Совета ЭТИ (1909-1918) и редактором институтского «Вестника химического общества» (1911—1918).
Во время Первой мировой войны активно участвовал в выполнении работ военного характера, в частности, в организации производства оптического стекла, хлора и его производных. Среди статей, написанных Пушиным: «Боевые отравляющие газы», «Химическая война и мирное население в период первой мировой войны». За научные заслуги и работы в военной сфере был удостоен золотых часов с сапфирами и нескольких орденов.
В 1918 году эмигрировал в Югославию.
В 1920—1921 годах — профессор технического факультета Белградского университета. С 1921 по 1928 год — профессор по контракту в Загребском университете, а с 1928 года — вновь в Белградском.
В 1947 году избран членом-корреспондентом Сербской академии наук. Возглавлял редколлегию Журнала сербского химического общества.
Автор 56 публикаций на немецком, английском, сербскохорватском и русском языках.
Учениками Н. А. Пушина были И. В. Гребенщиков, М. С. Максименко, П. Ф. Антипин.