Николай Васильевич Веселкин родился 3 декабря 1879 года в городе Егорьевске Рязанской губернии. Закончил гимназию в Москве.
В 1896 году поступил в петербургскую Военно-медицинскую академию, на третьем курсе начал работать на кафедре общей патологии, возглавляемой тогда Петром Михайловичем Альбицким, на дочери которого, Марии, Весёлкин впоследствии женился, их сын — патофизиолог Пётр Николаевич Весёлкин. В 1913 году Николай Васильевич защитил докторскую диссертацию «Влияние углекислоты на температуру и теплообмен у здоровых и лихорадочных животных».
В 1921 году Н. В. Веселкин организовал лабораторию экспериментальной патологии (позднее отделение физиологической химии) Государственного естественно-научного института имени П. Ф. Лесгафта, где вплоть до Великой Отечественной войны изучал нервно-эндокринную регуляцию углеводно-фосфорного обмена в организме. Разработки его лаборатории легли в основу теории диабета, согласно которой первопричиной нарушений обмена при этом заболевании является снижение фосфорилирования глюкозы.
Возглавлял кафедры патофизиологии 1-ого Ленинградского медицинского института и позднее — Института физкультуры имени П. Ф. Лесгафта.