Родился 12 декабря 1918 года в селе Николаевка Ставропольского края.
В 1941 году О. Г. Газенко с отличием окончил военный факультет 2-го Московского медицинского института и в звании военврача 3-го ранга (капитан медицинской службы) вместе со всем выпуском ушел на фронт. Всю войну прослужил начальником войскового лазарета 197-го батальона аэродромного обслуживания 15-й воздушной армии на Западном, Юго-Западном, Брянском, Прибалтийском и Белорусском фронтах. Награжден боевыми орденами и медалями.
После окончания войны О. Г. Газенко в 1946-1947 годах прошел специальную подготовку в Военно-медицинской академии (г. Ленинград) на кафедре физиологии, в лаборатории авиационной медицины, где под непосредственным руководством крупных физиологов - академика генерал-полковника Л. Орбели и профессора генерал-майора М. Бресткина изучал проблемы высотной физиологии и состояния высшей нервной деятельности в условиях гипоксии. В 1947 году он получил назначение в Институт авиационной медицины Министерства обороны СССР.
С 1969 года решением ЦК КПСС и Совета Министров О. Г. Газенко прикомандирован к 3-му Главному управлению при Министерстве здравоохранения СССР в качестве директора Института медико-биологических проблем.
В 1988 году О. Г. Газенко вышел в отставку в звании генерал-лейтенанта медицинской службы.
В 1987 году О. Г. Газенко был избран президентом Всесоюзного (ныне Российского) физиологического общества имени И. П. Павлова.
В 1989-1991 годах являлся народным депутатом СССР, входил в состав Комитета по науке и образованию Верховного Совета СССР, был членом Комиссии по расследованию событий в Тбилиси 9 апреля 1989 года.
Был советником Российской академии наук при Государственном научном центре РФ "Институт медико-биологических проблем".