Играл на месте нападающего за СКА (Ростов-на-Дону) и сборную СССР. В чемпионатах СССР провёл 259 матчей, забил 119 голов. Вице-чемпион чемпионата СССР по футболу 1966 года. Один из самых результативных форвардов советского футбола.
Родился в городе Елец, Орловской области (до 6 января 1954 г. Елец входил в состав Орловской области). С детства занимался спортом (коньки, хоккей, легкая атлетика), в 18 лет стал чемпионом Липецкой области по метанию копья и конькобежному многоборью.
В футбол начал играть в елецком «Спартаке», после по призыву попал в воронежский ОДО. Из Воронежа перешёл в ЦСК МО, тренировался с дублем у Григория Федотова.
В основном составе ЦСКА закрепиться не сумел и был переведен в СКВО (Львов), где тренировался под началом Владимира Никанорова. Из Львова был направлен в Ростов-на-Дону, где и играл до конца карьеры футболиста. За ростовский клуб провёл в чемпионатах СССР 257 игр, забил 119 мячей.
Обладал плотным, мощным ударом. Освоил сухой лист, бил с лета и полулета. Одной из сильнейших сторон, как футболиста, было умение играть на «втором этаже»: головой забивал примерно каждый третий гол.
При этом бил пенальти только один раз в жизни, говоря что «это лотерея. Промазал — сожрут с потрохами. Так что я исполнять не рвался».
Дебютировал в 26 лет за олимпийскую сборную СССР в товарищеском матче против сборной ГДР 7 июня 1964 года и забил гол (1:1). Это был единственный матч Копаева за олимпийскую сборную.
За главную сборную СССР впервые сыграл 21 ноября 1965 года в Рио-де-Жанейро в товарищеском матче со сборной Бразилии во главе с Пеле (2:2). Дебютант провёл на поле все 90 минут. Всего за сборную СССР провёл 6 матчей в 1965—1966 годах и не забил ни одного мяча. В 6 матчах с участием Копаева сборная СССР одержала 3 победы (над Уругваем, Австрией и Чехословакией) и 3 раза сыграла вничью (с Бразилией, Аргентиной и Швейцарией). Все 6 матчей были сыграны в гостях.
После окончания карьеры футболиста немного проработал тренером дубля СКА (Ростов-на-Дону). Затем перешёл на военную работу и в течение пяти лет служил в Группе советских войск в ГДР в городе Эльсталь (бывший Олимпишесдорф).
По возвращении в СССР окончил академию гражданской обороны. Был начальником штаба гражданской обороны Дзержинского района города Москвы. В 1989 демобилизовался, полковник запаса. Работал у друга в Москве в магазине «Океан», затем в Департаменте здравоохранения Москвы по линии гражданской обороны.
Жена — Тамара Кузьминична, с которой познакомились в Ростове и поженились в 1960 году.
Дочь — Наталья (род. в 1966 году), окончила Строгановское училище. Работает в реставрационных мастерских Исторического музея.