Заслуженный мастер спорта СССР (1971), заслуженный тренер СССР (1991), кавалер ордена «Знак Почета». В 2000 году Федерацией тенниса России она была признана лучшей теннисисткой столетия.
С 10 лет Ольга начала заниматься теннисом на кортах «Динамо» у знаменитого тренера Н. С. Тепляковой.
В 13 лет Ольга Морозова стала чемпионкой ЦС «Динамо» в Риге в младшей возрастной группе. Начиная с этого турнира она выигрывала все юношеские соревнования, и вскоре её включили во взрослую команду. В 15 лет Ольгу Морозову уже взяли на сбор первой команды страны. К этому времени у неё начал вырабатываться свой теннисный почерк — активная игра с быстрым выходом к сетке. Зимой 1965 года она впервые участвовала в международном турнире, где играла в паре с лучшим теннисистом страны А. Метревели. В том же году она стала чемпионкой Уимблдонского турнира среди девушек. Эта победа, по словам Ольги Васильевны, стала её стартом в мировой теннис. В 1965—1966 годах она выиграла чемпионат СССР среди девушек в парном и смешанном разрядах, а в 1967 году — и в одиночном разряде.
В начале 1969 года Ольга Морозова перешла в ЦСКА. Выиграв Всесоюзные соревнования в Ленинграде и летний чемпионат в Ташкенте, она стала первой теннисисткой страны. Ольга Морозова возглавляла всесоюзную классификацию 11 лет, до перехода на тренерскую работу. Она — 22-кратная чемпионка СССР: в одиночном (1969—1971, 1976, 1980), парном (1969—1973, 1975—1977, 1979—1980), смешанном (1967, 1970—1973, 1975—1976) разрядах, абсолютная чемпионка СССР (1970—1971, 1976); финалистка чемпионатов в одиночном (1979), парном (1968) и смешанном (1968, 1977) разрядах. В 1972—1973 годах в составе команды ЦСКА Ольга Морозова стала обладательницей Кубка СССР. Она является 11-кратной победительницей Всесоюзных зимних соревнований в одиночном (1969—1970, 1973—1974, 1980), парном (1969—1970, 1973—1974) и смешанном (1969, 1974) разрядах, чемпионкой Москвы в одиночном (1971 — лето; 1967—1969, 1974—1975 — зима), парном (1967—1968, 1970, 1974—1975, 1979, 1981 — зима) разрядах и миксте (1970 — зима).
В 1971 году в Болгарии Ольга Морозова стала абсолютной чемпионкой Европы по теннису, победив во всех трех разрядах (парном, миксте и одиночном). В целом за годы своей спортивной карьеры на чемпионатах Европы она завоевала 22 золотые медали, из них 6 в одиночном разряде.
В 1972 году первой из советских спортсменок дошла до финала турнира первой категории среди профессионалов. Произошло это на турнире Italian Open.
В 1973 году Ольга Морозова выиграла турнир Куинс-клаб, в финале одержав победу над австралийкой И. Гулагонг. Куинс-клаб положил начало победам Ольги Морозовой над сильнейшими теннисистками мира. В том же году на Уимблдоне она уже была среди «сеяных» игроков, а по результатам соревнований вошла в число первых восьми. На следующий год в Филадельфии (США), на престижном турнире она обыграла первую ракетку мира Билли-Джин Кинг. Этот финальный матч, по словам О. В. Морозовой, стал одним из лучших в её жизни.
Пик карьеры теннисистки пришёлся на 1974 год, когда она впервые в истории отечественного тенниса играла в одиночных финалах турниров Большого Шлема — Ролан Гаррос и Уимблдона. Оба поединка Морозова уступила первой ракетке мира Крис Эверт. В этом же сезоне в паре с Крис Эверт советская спортсменка выиграла Ролан Гаррос. «Теннисистка универсального стиля игры, — сказал о ней тренер сборной С. Андреев, — успешно действовала как в атаке, так и в защите. Мощный смэш, уверенная игра с лета, остро атакующие действия у сетки — основные достоинства игры Морозовой. На корте ее отличали высокая техника игры, постоянное стремление к инициативе, воля к победе».
В 1975 году выходила в финалы парных состязаний на Australian Open и Ролан Гаррос. В Австралии партнером Морозовой была выдающаяся австралийская теннисистка Маргарет Корт.
В 1976 году играла в финале Открытого чемпионата США (также в паре).
Ольга Морозова успешно выступала в миксте. С соотечественником Александром Метревели они выходили в финалы Уимблдона в 1968 и 1970 годах.
Успешная профессиональная карьера Морозовой закончилась в 1977 году из-за того, что СССР бойкотировал все турниры с участием спортсменов из ЮАР. Тем самым Советский Союз выражал свой политический протест против апартеида в Южной Африке. Заложниками этого протеста оказались спортсмены, чей талант и профессионализм так и не были до конца реализованы. В дальнейшем большой теннис в СССР на долгие годы стал невыездным и был сильно отброшен в развитии по отношению к этой игре на Западе. Только с 1985 года начинается возрождение отечественного тенниса.
В дальнейшем Ольга Морозова успешно реализовала себя как тренер. В разные годы работала с такими мастерами тенниса, как Л. Савченко, С. Пархоменко, Н. Зверева, Н. Медведева, Л. Месхи, Е. Лиховцева, Е.Дементьева. Все они стали заметным явлением в мировом женском теннисе. Женская сборная СССР под руководством Ольги Морозовой дважды входила в финал Кубка Федерации (1988, 1990), завоевала 8 золотых медалей на чемпионатах Европы. В 90-е годы Морозова вместе с семьей жила и работала в Великобритании. Сегодня вновь востребована на Родине как тренер, комментатор и эксперт тенниса, организатор и почетный гость соревнований.
Ольга Морозова стояла у истоков создания Кубка Кремля среди женщин. Выезжая со своей сборной на различные турниры за рубеж, она начала интересоваться их организацией и вскоре пришла к мысли, что в Москве необходим свой регулярный международный турнир. Это не только способствовало бы росту популярности данного вида спорта в стране, но и помогло бы молодым спортсменам сделать первые шаги в международный теннис. И Ольга Морозова стала собирать информацию о том, что необходимо для организации такого турнира. Одновременно этим вопросом занимался и старший тренер мужской сборной Ш. А. Тарпищев. При помощи своих западных коллег, особенно одной из руководительниц Всемирной теннисной ассоциации (WTA) — П. Килмайер, Ольга Морозова добилась от Международной федерации тенниса включения женского международного турнира в Москве в мировой график соревнований. В ноябре 1989 года московский турнир, входивший в серию «Virginia Slims», успешно дебютировал в «Олимпийском». Это был первый настоящий теннисный праздник в стране за многие годы: заполненный до отказа стадион, множество знаменитых гостей, огромное количество призов. Призовой фонд этого первого женского турнира составлял 100 тысяч долларов, а через 8 лет уже превысил миллион долларов.