В 1956 году — окончил историко-философский факультет Киевского государственного университета им. Т. Г. Шевченко.
В 1962 году — окончил аспирантуру Института философии АН УССР.
В 1962—1978 годах — сотрудник Института философии АН УССР (прошёл путь от младшего научного сотрудника до заместителя директора по научной работе).
В 1978—1991 годах — директор Межреспубликанского филиала Академии общественных наук в г. Киеве.
С 1992 года - возглавляет Национальную библиотеку Украины имени В. И. Вернадского.
Алексей Онищенко является автором и соавтором более чем 300 научных трудов, в том числе 17 монографий. Возглавляет редакционную коллегию журнала «Библиотечный вестник», входит в редакционные коллегии научных журналов «Высшее образование Украины», «Вестник НАН Украины», «Киевская древность», «Наука и наукознавство», «Восточный мир».