По своей основной профессии Орасио Элисондо — преподаватель физкультуры. С 1992 года начал обслуживать в качестве судьи матчи чемпионата Аргентины. С 1996 года — арбитр ФИФА. Первым международным матчем, который обслуживал Орасио, стала игра между Эквадором и Колумбией 6 октября 1996 года.
Судил финальный матч чемпионата мира 2006 года между Италией и Францией. Лучший арбитр мира 2006 года.
Помимо этого, среди главных матчей, которые судил Элисондо, выделяются финалы Кубка Либертадорес:
Известен своим жёстким решением по отношению к Зинедину Зидану, которого арбитр удалил в финале чемпионата мира по футболу 2006 года после стычки с Марко Матерацци. На том же чемпионате удалил Уэйна Руни в четвертьфинальном матче Англия — Португалия.
В настоящий момент Элисондо завершил карьеру арбитра, за 6 лет до крайнего срока для судей. Последним матчем, который он судил, стал поединок между «Бокой Хуниорс» и «Ланусом» 10 декабря 2006 года.