Свою футбольную карьеру Пауло начал в 1994 году, выступая за коста-риканскую «Эредиано». Затем, через 2 года, последовал переезд в английский клуб Дерби Каунти. Ванчопе выступал за этот клуб 3 сезона. В 1999 года он перешёл в Вест Хэм и отыграл за клуб один сезон, забив 12 голов в 35 матчах. Сезон 2000/2001 он начал, выступая уже за другой английский клуб — Мачестер Сити. После 3-х сезон за клуб, Ванчопе перешёл и испанскую «Малагу» в 2004 году. Он отыграл один сезон и забил 6 мячей. Один из этих мячей был забит в ворота «Нумансии» и был признан самым красивым голом сезона 2004/05. После «Малаги» в 2005 году Пауло перебрался в катарский клуб Аль-Гарафа (сыграл 6 матчей и забил 2 гола). В 2006 вновь вернулся в коста-риканскую «Эредиано» (10 матчей, 3 гола). В 2007 перебрался в «ФК Токио» (11 матчей, 3 гола) и в том же году выступал за американский «Чикаго Файр», где и завершил свою карьеру.