Родился в деревне Кайлык, ныне Уярского района Красноярского края, в семье крестьянина.
С 1926 года — в Красной Армии. В 1929 году П. Н. Кулешов окончил Томское артиллерийское училище и был направлен для прохождения службы в Нижний Новгород на должность командира огневого взвода батареи 50-го стрелкового полка. Затем он командовал учебным взводом в полковой школе, формировал отдельный резервный артиллерийский дивизион в Новосибирске, был командиром учебной батареи Томского артиллерийского училища.
В 1933 году направлен на учёбу на инженерно-командный факультет Военную академию имени Ф. Э. Дзержинского. После окончания академии служил в Главном артиллерийском управлении Наркомата обороны СССР на должности инспектора по военно-учебным заведениям. В 1939 году поступил в Военную академию Генерального штаба, которую успешно окончил в сентябре 1941 года.
После окончания академии П. Н. Кулешов один месяц был помощником начальника отдела в Генеральном штабе, где занимался планированием обеспечения действующей армии боеприпасами. В октябре 1941 года П. Н. Кулешов получил приказ срочно формировать в посёлке Алабино Московской области 3-й гвардейский минометный полк — полк «катюш». 3-й полк ГМЧ (гвардейских минометных частей) стал учебной базой по подготовке командных кадров для оперативных групп ГМЧ на фронтах. В том же октябре 1941 года П. Н. Кулешов назначен командиром оперативной группы ГМЧ на Северо-Западном фронте, вскоре стал командиром такой же группы на Волховском фронте. Эта группа под его командованием сыграла значительную роль в успешном исходе боёв в районе Тихвина, когда советские войска остановили противника и не позволили ему выйти к Ладожскому озеру с целью захвата единственного пути сообщения между Большой землей с осажденным Ленинградом.
На Волховском фронте П. Н. Кулешов был ранен. После лечения во фронтовом госпитале, Павел Николаевич продолжал командовать Волховской оперативной группой и принимал активное участие в прорыве блокады Ленинграда в январе 1943 года. В июне 1943 года он был отозван с фронта и назначен заместителем командующего гвардейскими минометными частями Красной Армии. В этой должности часто привлекался к работе в оперативных группах представителей Ставки Верховного Главнокомандования. Выезжал на Северо-Кавказский, Воронежский, 4-й Украинский и 2-й Украинский фронты для организации усиления ударных группировок гвардейскими минометными частями, организации правильного использования реактивной артиллерии и их своевременного обеспечения боеприпасами.
В конце 1943 года на фронтах были введены должности заместителей командующего артиллерией фронта по гвардейским минометным. Генерал-майор артиллерии Кулешов тогда же был назначен на данную должность на 1-м Прибалтийском фронте. Участвовал в ряде наступательных операций, особенно успешно проявил себя в Белорусской стратегической наступательной операции летом 1944 года.
В августе 1944 года П. Н. Кулешов вторично отозван с фронта и назначен с повышением на должность заместителя начальника штаба артиллерии Красной Армии, где занимался вопросами формирования новых частей реактивной артиллерии для фронтов, обеспечения ГМЧ боеприпасами и техникой, планирования боевых действий артиллерии и ГМЧ при разработке стратегических операций в Генеральном штабе, контролем производства артиллерийской техники. Генерал-лейтенант артиллерии (ноябрь 1944 г.).
После войны П. Н. Кулешов назначен начальником нового инженерно-ракетного факультета, ставшего основой Академии имени Ф. Э. Дзержинского, затем стал заместителем начальника Академии по научной и учебной части.
В 1952 году П. Н. Кулешов был привлечён к разработкам новых ракетно-артиллерийских вооружений, работал на испытательном полигоне в Астраханской области. Практически он выполнял секретное задание ЦК КПСС и командования — создавал новый испытательный полигон на юге страны с целью испытаний зенитно-ракетных боевых средств и практической подготовки новых полков ПВО, оснащенных новейшими зенитными ракетами. Полигон под руководством генерала Кулешова позволил создать надежную противовоздушную оборону страны. С 1953 года — в Центральном аппарате Министерства обороны СССР, где продолжил заниматься разработкой и полевыми испытаниями новых вооружений. С апреля 1957 года П. Н. Кулешов — заместитель Главнокомандующего Войсками противовоздушной обороны страны. На этом посту он возглавил неотложную работу по созданию более мощных боевых средств и зенитно-ракетных комплексов.
В 1963 — 1965 годах генерал-полковник П. Н. Кулешов — на ответственной работе в Генеральном штабе ВС СССР, занимался поставками ракетной техники в дружественные страны Ближнего Востока и на Кубу, содействовал им в освоении этой боевой техники. В длительной командировке во Вьетнаме участвовал в создании единой системы противовоздушной обороны страны.
С 1965 года П. Н. Кулешов — начальник Главное ракетно-артиллерийское управление Министерства обороны СССР. 18 лет он возглавлял это важнейшее управление, на которое были возложены многие функции производство боевой техники и боеприпасов, обеспечение войск, формирование резервов вооружения, подготовка кадров, создание новых образцов ракет, ствольной артиллерии, стрелкового оружия и всевозможных боеприпасов. Под его руководством по заданию правительства создавалось зенитно-ракетное и противотанковое вооружение для Сухопутных войск. По праву признан выдающимся военачальником и крупнейшим специалистом в области создания зенитно-ракетной техники и специальных боеприпасов. Его военная деятельность была строго засекречена, и в печати о П. Н. Кулешове никаких подробностей не сообщалось.
С 1983 года маршал артиллерии (звание присвоено в 1967 году) П. Н. Кулешов состоял в Группе генеральных инспекторов Министерства Обороны СССР. После её расформирования в 1992 году уволен в отставку. До последних дней жизни работал на должности специалиста в ГРАУ.
За выдающиеся заслуги перед Отечеством Павлу Николаевичу Кулешову указом Президиума Верховного Совета СССР от 21 февраля 1978 года присвоено звание Героя Социалистического Труда с вручением Золотой медали «Серп и Молот», он также награждён пятью орденами Ленина, четырьмя орденами Красного Знамени, орденом Суворова II степени, орденом Кутузова II степени, орденом Отечественной войны I степени, орденом Красной Звезды, орденом «За службу Родине в Вооружённых Силах СССР» III степени, многими медалями СССР, орденами и медалями иностранных государств. Лауреат Ленинской премии.
Жил в Москве. Супруга, Ирина Ефимовна, — педагог. Сыновья: Юрий Павлович — главный конструктор; Сергей Павлович — доктор физических наук, профессор.
Опубликованные ныне воспоминания работавших вместе с маршалом Кулешовым военных и гражданских лиц практически полностью единодушны в высокой оценке его деловых и личных качеств. Основа успеха его научной, изобретательской, организаторской деятельности и командной работы — в высокой образованности, серьёзной инженерной подготовке, в умении творчески решать служебные задачи и интеллигентности. Он умел ценить талантливых и деловых подчиненных, не допускал грубости и суетливости в коллективе.