Сын крупного текстильного фабриканта. Окончил историко-филологический факультет Московского университета (1915). Преподавал в Нижегородском университете, работал в Государственной Академии Художественных Наук (1923—1930), Институте русской литературы (Пушкинском доме) (1931—1932), Московском институте международных отношений. В 1943 г. защитил диссертацию на соискание учёной степени кандидата философских наук, после чего до конца жизни преподавал на философском факультете МГУ. В 1947—1948 гг. заведовал кафедрой логики — по утверждению А. А. Тахо-Годи, получил это место в результате написанного им доноса на Алексея Лосева.
На протяжении всей жизни интересовался проблемами бессознательного, но опубликовал на эту тему только работу «Бергсон и его критики» (1916), поскольку тема в советский период не приветствовалась. Как литературовед подготовил (совместно с женой) издание писем Софьи Андреевны Толстой (1936). Работал над собранием сочинений А. С. Пушкина, занимался также творчеством Тургенева, Достоевского, Чехова. Был дружен с Михаилом Булгаковым, собирал материалы для его биографии, сохранилась их переписка. Опубликовал учебник «История логики нового времени» (1960). Материал, подготовленный Поповым, вошёл в состав коллективной монографии «Развитие логических идей от античности до эпохи Возрождения» (1974).