Родился 24 декабря 1917 года в деревне Степное ныне Макушинского района Курганской области в крестьянской семье. Русский.
С десяти лет жил в Казахстане. В 1941 году окончил 4 курса Казахского государственного университета имени С. М. Кирова по специальности «биолог».
В Красной Армии с июня 1941 года. В 1942 году окончил ускоренный курс Алма-Атинского военного пехотного училища. Одновременно с учёбой в училище заочно завершил учёбу в университете, и после сдачи государственных экзаменов получил диплом биолога.
Участник Великой Отечественной войны с мая 1942 года. Боевое крещение лейтенант Александр Попов получил 12 мая 1942 года под Харьковом в должности старшего адъютанта батальона. Сражался на Юго-Западном, Сталинградском, Воронежском, Степном и других фронтах. Принимал участие в Сталинградской и Курской битве, в форсировании Днепра.
Начальник штаба 209-го гвардейского стрелкового полка (73-я гвардейская стрелковая дивизия, 7-я гвардейская армия, Степной фронт) гвардии майор Александр Попов в ночь на 25 сентября 1943 года, заменяя погибшего командира полка, умело организовал форсирование Днепра стрелковыми подразделениями в районе села Бородаевка Верхнеднепровского района Днепропетровской области Украины. На захваченном плацдарме успешно командовал подразделениями при отражении контратак врага.
Указом Президиума Верховного Совета СССР от 26 октября 1943 года за образцовое выполнение боевых заданий командования на фронте борьбы с немецко-фашистскими захватчиками и проявленные при этом мужество и героизм, гвардии майору Попову Александру Григорьевичу присвоено звание Героя Советского Союза с вручением ордена Ленина и медали «Золотая Звезда» (№ 1363).
Затем принимал участие в Ясско-Кишиневской операции, в освобождении Румынии, Болгарии, Венгрии, столицы Югославии — города Белград. Боевой путь закончил в Берлине.
После войны он продолжал службу в рядах Вооруженных Сил СССР. Окончил Военную академию имени М. В. Фрунзе. По решению командования был направлен для прохождения дальнейшей службы во вновь создаваемый Степной военный округ в Алма-Ату на должность помощника начальника отдела оперативной подготовки штаба округа. Затем служил в Туркестанском военном округе.
В 1952 году окончил Военно-дипломатическую академию. Служил в Главном разведывательном управлении (ГРУ) Генерального штаба. С 1964 года был преподавателем в Военном институте иностранных языков. С 1974 года полковник А. Г. Попов — в запасе.
Жил в Москве. До выхода на пенсию работал в Министерстве автомобильного транспорта РСФСР. Принимал активное участие в общественной работе, возглавлял Московскую центральную территориальную группу Совета ветеранов 73-й гвардейской стрелковой дивизии.
Умер 30 апреля 2004 года. Похоронен в Москве, на Митинском кладбище.