Родился в деревне Бушково в семье крестьянина. Русский. Образование начальное. До войны окончил среднюю школу № 2 в Архангельске, был учеником машиниста, машинистом парохода «Сура» Северного морского пароходства. Работал учеником машиниста на пароходе.
В Советской Армии с января 1943 года. Прошёл боевую выучку в авиадесантных войсках и в конце 1944 года стал разведчиком. На фронте с февраля 1945 года. Разведчик взвода пешей разведки 332-го гвардейского стрелкового полка (104-я гвардейская стрелковая дивизия, 9-я гвардейская армия, 3-й Украинский фронт).
Гвардии рядовой Галушин 18 марта 1945 года в критический момент боя за деревню Шёред (18 км к северо-западу от г. Секешфехервар, Венгрия) с двумя противотанковыми гранатами бросился под самоходную установку противника «Фердинанд», уничтожил её, обеспечив наступление батальона, но и сам погиб. 29 июля 1945 года присвоено звание Героя Советского Союза посмертно. Награждён орденом Ленина.
Похоронен в деревне Шёред. Навечно зачислен в списки воинской части. Именем героя названа улица в городе Архангельске. В 1981 году на одном из домов на ней установлена мемориальная доска, посвященная памяти П. И. Галушина. Бюст — в селе Холмогоры.
У Прокопия Ивановича было семь братьев и две сестры. Среди многочисленных племянников П. И. Галушина можно выделить литературного критика Владимира Бондаренко и поэтессу Елену Сойни.