Детство провёл в отцовском селе Коткенд и городе Казахе, затем был перевезён к дедушке в Тифлис, где окончил гимназию. С 1917 по 1919 год работал в Москве мелким служащим и одновременно учился в Московском государственном университете на историко-филологическом факультете. В 1919 году добровольно вступил в РККА и был направлен на Юго-Восточный фронт в 1-ю кавказскую кавалерийскую дивизию Г. Гая. Вскоре по состоянию здоровья был переведён в продовольственную комиссию. До 1923 года работал счетоводом, контролёром, снабженцем.
В 1923 году переехал в Петроград, где в 1926 году окончил Университет по лингвистическому отделению факультета общественных наук. Работал в научных учреждениях Академии наук СССР, окончил аспирантуру Института языка и мышления. По поручению Н. Я. Марра занимался разбором древнеармянских рукописей. В 1928 году командирован в Нагорный Карабах для собирания материалов по карабахским диалектам. В 1929 году занимался сбором балкарских лексических материалов в Кабардино-Балкарии. Участвовал в составлении сванского словаря.
В 1933 году по представлению Н. Я. Марра зачислен в ИЯМ научным сотрудником. В 1933 и 1934 гг. исследовал агульский язык в ходе Дагестанской лингвистической экспедиции, организованной Всесоюзным центральным комитетом нового алфавита совместно с Институтом языка и мышления.
В 1936 году присуждена ученая степень «кандидата общественных наук по разделу языковедения» без защиты диссертации. В 1937 году проводил полевую работу в северном Азербайджане, где изучал гильский диалект лезгинского языка, а также познакомился с языками шахдагской группы. Читал лекции по арменистике в университете, в 1940 году утверждён в звании доцента ЛГУ по кафедре кавказской филологии.
В начале 1941 года опубликован «Грамматический очерк агульского языка» — первая агульская грамматика после труда А. Дирра (1907). Р. М. Шаумян представляет в Учёный совет Института языка и мышления эту работу в качестве диссертации на соискание ученой степени доктора наук. Были назначены официальные оппоненты (акад. И. И. Мещанинов, проф. Л. И. Жирков, проф. К. Д. Дондуа), однако из-за начала войны защита не состоялась. В 1941 году Р. М. Шаумян закончил также «Грамматический очерк лезгинского гильского диалекта» (рукопись).
В начале февраля 1942 года из Ленинграда началась эвакуация сотрудников Института. В поезде по пути к станции Белая Грива на Ладоге погибли учёный секретарь С. Л. Быховская, старшие научные сотрудники Р. М. Шаумян и А. Н. Улитин, главный бухгалтер В. Г. Звейнек.