Роберт Кроун родился в Шотландии, на ферме Мортаун, в миле к северу от города Перта. Ферма находилась в аренде у его семьи в течение нескольких столетий. Роберт был единственным ребёнком в семье, поэтому родители хотели оставить его при себе, а потому видели для него будущее врача или купца. Будущий адмирал с детства имел тягу к морю, однако, не желая разочаровывать родителей, он согласился стать купцом и в 11-летнем возрасте был отправлен в купеческую контору к Провшу Симсону. Однако, не оставив мечту о море, Роберт бежал из дома и пешком направился в Эдинбург. В Лейте его нашли рабочие, посланные родителями. Ребёнка, расстроганного историей об отчаянии матери, увезли домой. Однако, отец Роберта, видя тягу сына к морю, решил определить его на морскую службу. Мать согласилась на это лишь при условии, что Роберт будет служить на маленьком одномачтовом почтовом судне, курсирующем между Пертом и Лондоном.
В 1788 году лейтенантом британского флота Роберт Кроун был принят в Балтийский флот России в том же звании. В России английский лейтенант получил русские имя и отчество — Роман Васильевич. Он был назначен командиром катера «Меркурий». Командуя этим кораблём Кроун принимал участие в войне с Швецией 1788—1790 гг. В начале мая 1789 года «Меркурий» под командованием Кроуна вступил в бой с шведским бригом «Снапоп» и взял его на абордаж, после чего принудил к сдаче 40-пушечный фрегат «Венус». За это Роман Васильевич был награждён орденом Святого Георгия 4-го класса, произведён в чин капитана 2-го ранга и назначен командиром захваченного фрегата.
В 1790 году Кроун участвовал в морском сражении под Ревелем за которое получил золотую шпагу с надписью «за храбрость». В сражении у Выборга, произошедшем 22 июня 1790 года, Кроун потопил 12 гребных судов и захватил пять галер, катер и транспортное судно, за что был награждён орденом Святого Владимира 3-й степени. Также капитан заставил сдаться 64-пушечный корабль «Ретвизан», был произведён в капитаны 1-го ранга и получил пожизненную пенсию.
В 1798—1799 годах Кроун участвовал в Голландской экспедиции, где отличился при захвате франко-голландского флота у мыса Гельдер. За это 29 января 1799 года получил звание в контр-адмирала, а 11 февраля 1804 года — вице-адмирала.
В 1812 году адмирал был отправлен в Архангельск, где принял шесть новых кораблей и северным путём отправился в Англию. Вместе с английской эскадрой он участвовал в блокаде портов Франции, Голландии и Дании портов, а также в захвате судов, идущих в осажденные северогерманские порты. В 1814 году на флагманском корабле Кроуна из Лондона в Францию был перевезён король Людовик XVIII.
После окончания войны Роман Васильевич командовал соединениями кораблей на Балтике. 8 февраля 1824 года он был произведён в адмиралы, а в 1831 году вышел в отставку и поселился в Петербурге, где прожил оставшуюся жизнь. Адмирал Кроун похоронен на Смоленском евангелическом кладбище.