В 1953 году закончил биолого-почвенный факультет Московского государственного университета. С 1953 по 1964 годы работал в должности старшего научного сотрудника Зоологического музея МГУ. В 1958 году получил степень кандидата биологических наук. Темой своей кандидатской диссертации выбрал «Птицы Центрального Кавказа». Затем в 1972 году становится доктором биологических наук по специальности зоология. Тема докторской диссертации — «Птицы гор Южной Палеарктики». Учёное звание профессора по специальности получил в 1990 году. В период с 1976 по 2000 гг. заведовал Орнитологической лабораторией МГУ. Бёме являлся членом специализированных диссертационных советов в МГУ, ИЭМЭЖ (ИПЭЭ) им. А.Н.Северцова РАН и НИИ охраны природы, Научного совета НИИ охраны природы, Учёного совета Московского зоопарка, Международного Совета по охране птиц, президиума Орнитологического общества СССР.
Бёме является автором более 60 научных работ. Основными научными трудами стали монографии и книги: «Птицы Центрального Кавказа» (1958); «Птицы гор Южной Палеарктики» (1975); «Пятиязычный словарь названий животных (Птицы)» (1994), включающий названия всех птиц мира (11 060 названий), первый опыт по унификации русских эквивалентов названий птиц всей мировой фауны; «Горная авифауна птиц Южной Палеарктики» (эколого-географический анализ)» (2001); комплекс определителей птиц: «Птицы лесов и гор» (1966, 1981), «Птицы нашего края (средняя полоса Европейской части СССР)» (1968), «Птицы СССР» (1968) (в 1984 г. эта книга издана в США на английском языке); «Справочник названий птиц фауны СССР» на четырёх языках (1972); «Птицы открытых и околоводных пространств СССР» (1983); «Птицы разных материков» (1986); «Птицы Грузии» (1987); «Птицы России» в серии «Энциклопедия природы России» (1996).