Савинов Александр Иванович родился 17 июля 1881 года в Саратове в семье купца-лесоторговца. В 1897 году поступает в только что открытое Боголюбовское рисовальное училище, в котором занимается до 1900 года. Его учителями были В. Коновалов, Г. Сальвини-Баракки, Ф. Корнеев.
В 1901 году Александр Савинов уезжает в Санкт-Петербург, где сначала поступает в Университет на историко-филологическое отделение. Однако вскоре оставляет занятия и поступает в Высшее художественное училище при Императорской Академии художеств. Занимается у Д. Н. Кардовского и Я. Ф. Ционглинского. В 1908 году Александр Савинов оканчивает Академию, представив конкурсную работу «Купание лошадей на Волге» (в собрании ГРМ). В 1909—1911 годах совершает поездку в Италию как пенсионер Академии художеств.
По возвращению из Италии Александр Савинов начинает свою педагогическую деятельность, сначала в Рисовальной школе Императорского Общества поощрения художеств, затем в частной студии М. Д. Бернштейна. Одновременно участвует в выставках, работает над частными заказами.
В 1913—1915 годах расписывал храм Спасителя в харьковском имении миллионера-сахарозаводчика Павла Харитоненко Натальевка, после чего художник занимался в основном преподавательской деятельностью. Участник выставок «Союза русских художников», «Мира искусства», «Нового общества художников», «Четыре искусства».
После Февральской революции 1917 года Александр Савинов участвует в мероприятиях по реорганизации Академии художеств, в числе первых он был избран профессором Петроградских государственных свободных художественно-учебных мастерских. Однако в конце года в связи со смертью матери возвращается в Саратов, где оставался с семьей до 1922 года.
В 1922 году Александр Савинов возвращается в Петроград, где начинается его многолетняя педагогическая работа в реформированной Академии художеств, которая с небольшим перерывом будет продолжаться почти до самой смерти художника. Он руководил в 1927—1930 годах вместе с К. С. Петровым-Водкиным монументальной мастерской, затем персональной живописной мастерской, возглавлял кафедру композиции, был проректором по научной и учебной работе. Среди учеников Александра Савинова в разные годы были Алексей Пахомов, Михаил Натаревич, Дмитрий Мочальский, Евгений Чарушин, Людмила Рончевская и другие.
Александр Савинов был членом Ленинградского Союза советских художников с момента его образования в 1932 году. После начала Великой Отечественной войны Александр Савинов принимает активное участие в подготовке к эвакуации музейных экспонатов Эрмитажа, лично готовил к отправке в тыл полотна Рембрандта., работает над плакатами и рукописью неоконченной книги «Работа художника над картиной».
Александр Иванович Савинов скончался 25 февраля 1942 года в блокадном Ленинграде на шестьдесят первом году жизни. Его произведения находятся в Государственном Русском музее в Петербурге, в музеях и частных собраниях в России, Великобритании, Франции и других странах.