Родился в семье купца Григория Елисеева, владевшего знаменитыми в Москве и Петербурге «Елисеевскими магазинами». Впервые интерес к Востоку обнаружил в 1900 году, когда с отцом посетил Международную выставку в Париже. Ещё более усилился его интерес Дальнему Востоку после Русско-японской войны. По совету С. Ф. Ольденбурга занялся изучением Японии. Учился в Берлинском университете (тогда система образования Японии находилась под влиянием немецкой). Затем учился в Токийском университете, став первым европейцем, окончившим это учебное заведение, и первым европейцем, получившим высшее образование в Японии. Вслед за окончанием университета в 1912 году Елисеев поступает в аспирантуру Токийского университета. В 1914 году возвращается в Россию и женится. С 1916 года Елисеев — приват-доцент Петербургского университета и переводчик в Министерстве иностранных дел. Елисеев избирается вице-президентом Дальневосточной секции Коммерческой палаты, вступает в Археологическое общество и в Общество русский ориенталистов, где становится председателем японской секции.
В 1920 г. он на некоторое время был арестован, а вскоре после освобождения, осенью того же года, нелегально вместе с семьей покинул Советскую Россию. Через Финляндию и Швецию он добрался до Парижа. По рекомендации японского дипломата Х. Асиды (впоследствии премьер-министра Японии) устраивается в японское посольство переводчиком. Некоторое время Елисеев работал управляющим домом японских студентов в Париже и писал статьи для франкоязычного журнала о японской культуре, спонсируемого японцами. В Париже он преподаёт японский язык и литературу в Сорбонне и школе живых восточных языков, а также историю японского искусства в школе Лувра. В начале 1930-х вместе с женой Верой получил французское гражданство.
В 1932 году Елисеева приглашают в США. В 1934 году Елисеев становится директором Яньцзинского института при Гарвардском университете (учреждённого на основе соглашения с Яньцзин-Гарвардским университетом в Пекине) и одновременно — Центра исследований Китая и Японии там же — в Гарварде. В течение почти четверти века С. Г. Елисеев возглавлял изучение Японии, а также Китая, Кореи и Монголии в этом университете.
В разгар войны, в 1944 году, впервые увидел свет курс японского языка для начинающих, подготовленный С. Г. Елисеевым совместно с Э. Райшауэром и Т. Ёсихаси, впоследствии несколько раз переиздававшийся. Это был первый в США опубликованный массовым тиражом учебник японского языка. В 1946 году Елисеев был награждён орденом Почётного легиона.
В 1957 году С. Г. Елисеев, которому было 68 лет, ушел в отставку, а годом позже покинул Гарвард и вернулся в Париж. Живя долгие годы в США, он сохранял французское гражданство, а его дети во время войны служили во французской армии.
Жена — Вера.
Дети: