Александр Шакаров родился в армянской семье. В шахматы научился играть относительно поздно — в 14 лет, но, быстро прогрессируя, вскоре стал мастером. Известна его партия 1966 года против Анатолия Карпова, в которой будущему чемпиону мира с трудом удалось добиться ничьей. С 1971 года Шакаров стал заниматься тренерской деятельностью, и именно в этой области достиг наибольших успехов. В 1973 году он начал помогать Гарри Каспарову, и уже в 1976-м стал официально считаться его тренером. Плодотворное сотрудничество продолжалось вплоть до конца великой карьеры тринадцатого чемпиона мира.
В настоящий момент живёт в Подольске.
Шакарову посвящена четвёртая глава книги Тибора Каройи «Гений на заднем плане» (англ. Genius in the Background, 2009).