В 1946 г. окончил механико-математический факультет Московского государственного университета им. М. В. Ломоносова, закончил в 1949 г. там же аспирантуру и защитил в 1950 г. кандидатскую диссертацию по функциональному анализу.
Несколько лет работал в различных научных и учебных математических институтах Москвы, а с 1961 по 1989 год — в отделе семиотики Всесоюзного института научной и технической информации АН СССР (зав.отделением Гиляревский Руджеро Сергеевич), где выполнил значительную часть своих научных работ и был одним из ведущих сотрудников. Ю. А. Шрейдеру принадлежат важные результаты в области вычислительной техники и информатики, профессор по информатике с 1984 года.
В 1960-е годы Ю. А. Шрейдер заинтересовался религиозными проблемами, и этот интерес положил начало его философским исследованиям. С 1970-х годов Шрейдер начинает серьёзно заниматься исследованием актуальных проблем философии.
1981 — защитил докторскую диссертацию по философии.
Его книги «Равенство, сходство, порядок» (1970), «Системы и модели» (1980), «Природа биологического познания» (1991), «Основы этики» (1993), «Ценности, которые мы выбираем» (1999), многочисленные статьи, опубликованные, в том числе и на страницах журнала «Вопросы философии», стали классическими в российской философской литературе.
С 1989 г. Ю. А. Шрейдер перешёл на постоянную работу в Институт проблем передачи информации Российской академии наук, и философская проблематика стала для него основной.
Преподавал в МГУ им. М. В. Ломоносова на механико-математическом факультете и на отделении структурной и прикладной лингвистики филологического факультета. Всего опубликовал около 800 трудов.
В 1970 году Ю. А. Шрейдер принял крещение в Римско-Католической Церкви. С 1977 года — терциарий ордена проповедников (Св. Доминика). Обращение Шрейдера к религии привело к его исключению из КПСС и освобождению от должности заведующего сектором.
В 1989 году стал одним из организаторов Католического клуба «Духовный диалог» и был избран его председателем. С 1993 года — академик-секретарь Отделения «Наука и теология» Российской академии естественных наук и председатель правления Центра философии, психологии и социологии религии.
С 1991 года — профессор Колледжа католической теологии св.Фомы Аквинского, а с 1996 года — Библейского богословского института Св. апостола Андрея в г. Москве, где неоднократно читал курсы лекций «Этика», «Социальное учение Церкви», «Логика и теория познания» и др. Был принят папой римским Иоанном Павлом II.
Автор стихов, где ярко и образно звучат философские и теологические темы. Был другом писателя Варлама Тихоновича Шаламова, состоял с ним в переписке.