Сурен Налбандян родился в селе Гегард Абовянского района Армянской ССР. В 1964 году его семья переехала в Астрахань, где в 1969 году он начал заниматься борьбой под руководством заслуженного тренера РСФСР Владимира Фомина. В 1972 году завоевал звание чемпиона СССР среди юношей, а в 1974 году – среди молодёжи. В 1975 году Сурен Налбандян стал победителем Спартакиады народов СССР и молодёжного чемпионата мира. В 1976 году выиграл чемпионат СССР и вошёл в состав национальной сборной СССР на чемпионате Европы в Ленинграде и Олимпийских играх в Монреале. На чемпионате Европы Сурен Налбандян завоевал бронзовую медаль, а на Олимпийских играх - золотую медаль. На следующий год снова стал чемпионом СССР и чемпионом Европы. В 1980 году был участником Олимпийских игр в Москве, но не смог завоевать медаль. После этого завершил спортивную карьеру.
В дальнейшем занимался тренерской деятельностью, разработкой научного подхода к общефизической, силовой и скоростной подготовке молодых борцов.