Лёгкой атлетикой Тамара, а потом и её младшая сестра Ирина, начали заниматься в Самарканде, куда они эвакуировались с матерью, Лидией Владимировной, из Харькова в начале войны. Отец, Натан Исаевич Пресс, погиб на фронте в 1942 году. Тамара была девочкой рослой с ярко выраженными атлетическими данными, что в скором времени заметил известный тренер по легкой атлетике Владимир Пантелеймонович Бессекерных, под его руководством Тамара Натановна стала чемпионкой Узбекистана в метании диска.однако, понимая, что для дальнейшего совершенствования нужны будут иные условия, нежели у них в Самарканде, Бессекерных написал письмо Алексееву с просьбой взять шефство над молодой спортсменкой. Первые серьёзные успехи пришли к Тамаре Натановне в 1958 году, она впервые победила на чемпионате СССР и в диске, и в ядре, выиграла чемпионат Европы в метании диска с результатом 53,32 м. Позже она 11 раз обновляла мировые рекорды, улучшив за 10 лет свои достижения: в метании диска с 53,32 м до 59,70 м, а в толкании ядра с 17,25 м до 19,59 м.
В 1960, на олимпийских играх в Риме она впервые стала олимпийской чемпионкой в толкании ядра, с результатом 17,32 м. В Японию 1964 Тамара Натановна ехала уже в качестве фаворита, можете себе представить, какую физическую и нервную нагрузку испытывает спортсмен, когда он фактически приговорен к победе, но советская женщина-атлет оправдала, возложенные на неё надежды, с пятой попытки (с результатом 57,27 м) сумела вырвать победу у немецкой дискоболки Ингрид Лотц, опередив ее на 6 сантиметров. Не менее упорная борьба развернулась и в битве за золото толкании ядра между Пресс и другой представительницей ГДР — Ренате Гариш-Кульмбергер .И тем не менее она сумела одолеть соперницу, установив новый олимпийский рекорд — 18,14 м.
После окончания спортивной карьеры Тамара Пресс занималась тренерской и научной работой. Стала кандидатом педагогических наук. Затем работала в ВЦСПС, была избрана заместителем председателя российского совета Всесоюзного добровольного физкультурно-спортивного общества профсоюзов.