Михаил Юханна родился 28 апреля 1936 года в деревне Тель-Кеппе на севере Ирака, в ассирийской семье католиков-халдеев. Отец Азиза был мелким чиновником местной администрации и умер, когда Юханна ещё был ребёнком. В 1946 году Азиз вместе с матерью переехал в Багдад, где окончил Багдадский колледж изящных искусств. В юном возрасте Михаил Юханна поменял своё имя на «Тарик Азиз», буквально означающее «великое прошлое».
В 1957 году Тарик Азиз окончил отделение английского языка филологического факультета Багдадского университета по специальности английской литературы. В том же году он вступает в партию Баас и в этот же период становится обозревателем, а затем главным редактором газеты «Аль-Джамахир». В 1969 году он стал главой Ассоциации печати, ответственным за средства массовой информации. Также в период с 1971 по 1979 годы Азиз являлся главным редактором газеты Al-Thawra.
В молодости работал журналистом. Знаком с Хусейном ещё с 1950-х гг., по совместной деятельности в партии Баас.
Осенью 1974 года Тарик Азиз занимает пост министра информации страны. Так Михаил Юханна впервые появляется на международной арене. Благодаря владению английским языком, а также знаниями по истории и мировой политике Азиз быстро находит общий язык с государственными деятелями Ближнего Востока и Европы. С 1977 года — член регионального и общеарабского руководства партии, член Совета революционного командования. В октябре того же года Азиз покидает министерский пост, но как только Саддам становится президентом страны, он назначает Тарика Азиза вице-премьером. Недовольные его назначением проиранские радикальные шиитские группировки устраивают 1 апреля 1980 года на него покушение. Тогда вице-премьер чудом остаётся жив. С июля 1995 года — глава комитета по внешней политике.
Перед концом режима Хусейна, Азиз развил очень активную деятельность. Он раздавал интервью западным СМИ, встречался с видными политиками, незадолго до вторжения встречался с папой римским Иоанном Павлом II. С первого дня начала войны американцы сосредоточили большое внимание на Азизе. Сначала они утверждали, что Азиз 19 марта был убит при попытке сбежать от Саддама Хусейна, потом — что его убили иракцы, наконец, что он погиб под бомбежками. На все эти заявления вице-премьер отвечал выступлениями по телевизору.
1 июля 2004 года Тарик Азиз вместе с Саддамом Хусейном и 11 представителями иракского руководства предстал перед судом, на котором ему были предъявлены обвинения в военных преступлениях. Азиз отверг свою причастность к инкриминируемым ему обвинениям в совершений убийств:
В последующем, Тарик Азиз появлялся на заседаниях суда в качестве свидетеля. Азиз выступал одним из свидетелей защиты на суде против Саддама Хусейна по делу Эд-Дуджейль и Анфаль. Он категорически отказался выступать свидетелем на суде против экс-президента и его соратников, а накануне казни Саддама намеревался выступить «с важным заявлением», но ему не позволили это сделать. Когда Саддама казнили, Тарик Азиз плакал.
29 апреля 2008 года иракский Верховный трибунал предъявил Тарику Азизу обвинения в казни 40 торговцев в 1992 году. Тогда 42 иракских рыночных торговца были казнены спустя несколько часов после ареста по обвинению в искусственном завышении цен на товары первой необходимости в условиях введенных против Ирака санкций. По этому обвинению Тарик Азиз 11 марта 2009 года был приговорён к 15 годам тюремного заключения. Впоследствии, 3 августа 2009 года, он был дополнительно приговорён к 7 годам тюремного заключения за участие в насильственном выселении курдов из северо-восточных районов Ирака.
26 октября 2010 года Азиз был приговорён к смертной казни за участие в расправах над мусульманами-шиитами в 1999 году. Однако 17 ноября президент Ирака Джаляль Талабани отказался подписать смертный приговор для Тарика Азиза и фактически помиловал его. Спустя несколько дней, 29 ноября, по другому делу суд приговорил его к 10 годам лишения свободы за преступления против шиитской религиозной группы курдов-файли.
16 марта 2011 года Высший уголовный суд Ирака приговорил Тарика Азиза к пожизненному заключению по обвинению в причастности к убийствам шиитских политических деятелей в 1980-е гг.. 21 апреля того же года суд оправдал его по делу об убийстве в 1994 году в Бейруте иракского диссидента, старейшины иракского племени Бану Тамим Шейха Талиба аль-Сухайля аль-Тамими. В связи с тяжёлым состоянием здоровья, Тарик Азиз через своего адвоката 18 августа передал письмо премьер-министру страны Нури аль-Малики с просьбой поскорее ускорить его казнь.
Женат на Виолет Юсеф Нобуд. Имеет троих сыновей. Супруга Тарика Азиза и двое его сыновей после вторжения США в Ирак перебрались в Иорданию и получили гражданство этой страны.
17 января 2010 года у Тарика Азиза случился инсульт, сообщает AFP. По данным агентства, Азиза переместили из тюрьмы в госпиталь на американской военной базе в Баладе.