Родился в 1916 года в городе Колпино в рабочей семье. Поступил на Ижорские заводы формовщиком, затем освоил специальность слесаря.
Увлекался спортом — футболом, волейболом, стрельбой. Был лучшим нападающим футбольной команды.
В 1937 году был призван в Красную Армию. Участвовал в Советско-финской войне 1939-1940 гг.
Вернувшись в Колпино, вновь работал на Ижорских заводах по специальности формовщик.
Окончил курсы местной противовоздушной обороны (МПВО) и в начале 1941 года был назначен заместителем начальника районного штаба МПВО. Занимался организацией системы МПВО на заводе.
В феврале 1942 года добровольцем ушел на фронт. Участвовал в кровопролитных боях в районе Невской Дубровки.
В январе 1945 года — командир взвода 781-го стрелкового полка 124-й стрелковой дивизии 39-й армии 3-го Белорусского фронта, лейтенант, воевал в Восточной Пруссии.
14 января 1945 года Тазаев в числе первых ворвался в район противника на окраине населенного пункта Пилькаллен (в настоящее время поселок Добровольск Краснознаменного района Калининградской области). Здесь захватил и в течение двух суток, до прибытия подмоги, удерживал несколько домов, отражая контратаки врага. Был тяжело ранен, но остался в строю. Умер от ран на третий день боя.
Похоронен в братской могиле в поселке Добровольск.
19 апреля 1945 года Алексею Тазаеву посмертно было присвоено звание Героя Советского Союза.
Награжден орденом Ленина, Отечественной войны 2-й степени, Красной Звезды, медалями «За отвагу», «За оборону Ленинграда».
Именем Алексея Тазаева названа улица в городе Колпино (до 1965 года Спортивная), профессионально-техническое училище № 6 (ныне Ижорский политехнический профессиональный лицей), а также судно министерства рыбного хозяйства.
В детском доме школе-интернате № 27 есть «Зал 124-й Мгинско-Хинганской Краснознаменной ордена Суворова стрелковой дивизии» и экспозиция, посвященная подвигу А. И. Тазаева, в вестибюле ИППЛ установлен его бюст. В 2004 году его имя внесено в Листы памяти «Золотой Книги Колпино».
Ежегодно, начиная с 1970 года, в Колпино проводится легкоатлетический пробег в честь Алексея Тазаева.