Воспитанник детской команды кутаисского клуба «Колхида» (первый тренер — Михаил Лосаберидзе) и школы кутаисского «Торпедо» (тренер — Карло Хурцидзе).
Карьеру начал в кутаисском «Торпедо», за которое выступал в первой лиге в 1974—1978 годах. В 1978 году перешёл в тбилисское «Динамо», в составе которого стал чемпионом СССР 1978 года, обладателем Кубка СССР 1979, победителем Кубка кубков 1980/81. Карьеру закончил в 1989 году в шведском ИФК (Хольмсунд).
За сборную СССР провёл 49 матчей, забил 2 гола. Вице-чемпион Европы 1988 года, бронзовый призёр Олимпийских игр 1980 года.
С 1991 года работал тренером в Грузии в собственной академии. Был Был председателем СТК Федерации футбола Грузии, старшим тренером команды «Юного динамовца» в возрасте до 14 лет.
В 2000 году — главный тренер юношеской сборной Грузии. При нем команда неудачно выступила в отборочных матчах чемпионата Европы и с Сулаквелидзе не стали продлевать контракт.
Сын Тенгиз Сулаквелидзе-младший также футболист. В настоящее время возглавляет футбольную академию отца.
Внук Тенгиза Сулаквелидзе играет в ФК «Строгино» Москва.
По некоторым сведениям, принимал участие в грузино-абхазском конфликте.