Тигран Мартиросян начал заниматься тяжёлой атлетикой в 1995 году под руководством Вагана Бичахчяна. В 1997 году он стал чемпионом Европы среди юношей, а в 1998 и 1999 годах повторил этот успех. В 2001 и 2003 годах завоёвывал медали чемпионатов Европы и мира среди молодёжи. После этого начал выступать во взрослых соревнованиях. Был участником Олимпийских игр в Афинах и занял седьмое место. В 2006 году стал бронзовым призёром чемпионата мира в Санто-Доминго. Перед чемпионатом Европы 2007 года в Страсбурге получил серьёзную травму, которая не позволила ему не только выступить на этом турнире, но и подготовиться к чемпионату мира в Чианг-Мае, где он смог занять только десятое место.
В 2008 году Тигран Мартиросян выиграл чемпионат Европы в Линьяно и стал бронзовым призёром Олимпийских игр в Пекине. Свою победу на чемпионате Европы он посвятил погибшему в автокатастрофе тренеру сборной Армении по тяжёлой атлетике Хачатуру Кяпанакцяну.
В 2009 году на чемпионате мира в корейском городе Коян Тигран Мартиросян завоевал серебряную медаль в рывке, но из-за болей в спине снялся с соревнований в толчке.