Тимофей Стуколкин родился 24 апреля (6 мая) 1826 года в селе Козьмино Симбирской губернии.
В возрасте 7-8 лет начал выступать в пантомимах ярмарочных балаганов, так проявились его яркие мимические способности.
В 1848 году окончил балетное отделение Петербургского театрального училища (ученик Ф. Малаверня, Э. Гредлю). С 1848 до самой смерти был артистом Петербургской императорской труппы, выступая в Большом Каменном и Мариинском театрах.
В 1864 году Тимофей Стуколкин должен был стать первым исполнителем партии Иванушки в балете Цезаря Пуни «Конёк-Горбунок», однако перед самой премьерой он сломал ногу, и на роль Иванушки был срочно назначен Н. П. Троицкий, до того главные роли не исполнявший.
В 1892 году исполнил партию Дроссельмейера на премьере балета «Щелкунчик».
Среди партнёров Стуколкина на сцене А. Н. Кеммерер, С. Г. Легат, А.Дель-Эра, П. Гердт, Н. О. Гольц, А. В. Ширяев, Александр Пишо, К.Розати, Е.О. Вазем, А. Бекефи и другие известные артисты Петербургского императорского балета.
Среди исполненных Тимофеем Стуколкиным балетных партий: Сотине («Мельники» Н. А. Тивольского), Никез («Тщетная предосторожность»), Гренгуар, Квазимодо («Эсмеральда»), Иванушка («Конёк-Горбунок»), Джон Буль («Дочь фараона»), Дроссельмейер («Щелкунчик»), Дон Кихот («Дон Кихот»), Тарас («Золотая рыбка», балетмейстер А.Сен-Леон, 1867). Кроме того Стуколкин сочинял для себя концертные номера, исполнял комические куплеты.
С 1854 года Тимофей Алексеевич преподавал бальные танцы в Смольном, Екатерининском, Елизаветинском институтах и Александровском лицее.
Скончался Тимофей Стуколкин 18 (30) сентября 1894 года прямо на сцене, после второго акта балета «Коппелия» Лео Делиба, где он исполнял роль Коппелиуса в постановке Мариуса Петипа. Воспоминания Тимофея Алексеевича частично были напечатаны в журнале «Артист» в 1895 году.