Получил юридическое образование в университете Падуи. Первое публичное выступление на сцене городского театра Губбио в партии Родольфо («Сомнамбула» Беллини) датировано 15 мая 1935 года; в трёх постановках 1935 года Гобби пел басом, но уже в 1936 остановился на карьере баритона. С 15 января 1936 выступал в третьестепенных партиях на сцене миланской Ла Скала.
В 1936 получил 1-ю премию на международном конкурсе вокалистов в Вене; в июне того же года получил первую партию в римском театре Адриано — Джоржио Жермона в «Травиате» Верди. В 1937 выходит первый из двадцати шести фильмов-опер с участием Гобби — «Кондотьеры» Джузеппе Бечче, съёмки которого заняли семь месяцев.
С 1937 до конца 1950-х годов регулярно пел в римском Teatro dell’Opera, с мая 1938 — первые партии (Марчелло в «Богеме», Данкайро в «Кармен»). Неоднократно выступал в масштабных постановках под открытым небом в Термах Каракаллы, часто ставившихся при режиме Муссолини. Освоил как классический репертуар итальянского бельканто, так и оперы современных итальянских композиторов, Прокофьева и Вагнера. Впервые выступил в Венеции, Палермо и Берлине в 1941. 4 апреля 1942 впервые солировал в Ла Скала в роли Белькоре («Любовный напиток» Доницетти), в июне 1942 записал в Ла Скала цикл сольных партий.
После войны, в феврале 1948, впервые выступил в Лондоне и Ливерпуле и записал цикл арий в лондонской студии EMI Abbey Road. В том же году совершил мировое турне в США, ЮАР и Швецию. В 1950—1951 вновь выступал с сольными концертами в Лондоне, а также в Зальцбурге, Висбадене, Мюнхене и др., совершил полугодовое турне по Южной Америке. С середины 1950-х годов Гобби проводил почти весь сезон в международных турне, лишь изредка появляясь на итальянской сцене. В этот период наиболее популярными партиями Гобби были Яго («Отелло») и Скарпия («Тоска»); за свою жизнь, он выступал в партии Скарпии более 900 раз (включая концертные исполнения и фильм Франко Дзеффирелли 1964 года).
В конце 1960-х годов голос Гобби начал утрачивать богатство тембра, певец сократил сольные выступления и занялся оперной режиссурой, работая на базе «Чикагской лирической оперы» (Lyric Opera of Chicago). Первой постановкой для него стала «Джанни Скикки» Пуччини (1970), в которой Гобби сам исполнял титульную партию. В постановке Гобби чикагская труппа исполняла «Тоску», «Фальстафа», «Бал-маскарад» и другие классические оперы. В последний раз маэстро солировал в роли Фальстафа в Амстердаме в 1977 году.