Сын автогонщика Джона Брайза. Начал заниматься картингом в возрасте 8 лет, в 1969 году стал чемпионом Великобритании по картингу. В 1971 году перешёл в «Формулу-Форд», в которой в первом же сезоне стал вице-чемпионом Великобритании. На следующий год дебютировал в «Формуле-3», в 1973 выиграл два основных британских чемпионата «Формулы-3». В 1974 году занял второе место в гонке «Формулы-3» в Монако и стартовал в «Формуле-Атлантик». На Гран-при Испании 1975 года дебютировал в чемпионате мира «Формулы-1» в команде «Вильямс», в первой же гонке финишировал седьмым, остановившись в одном шаге от зачётной зоны. Начиная с Гран-при Бельгии, стартовал за команду «Хилл» и уже во второй гонке за команду Грэма Хилла заработал одно очко за шестое место, которое так и осталось единственным в его карьере. Через полтора месяца после окончания сезона 1975 года Брайз вместе с остальными членами команды «Хилл» погиб в авиакатастрофе в пригороде Лондона.