Юлия Кутюкова родилась и начала заниматься волейболом в Липецке. Мать Юлии — Марина Кутюкова — в 1995—2001 выступала за липецкую «Магию»/«Стинол» (ныне «Индезит»), с 1996 года являясь капитаном команды. В настоящее время М. Кутюкова — тренер группы подготовки волейбольного клуба «Индезит».
С 2003 года Юлия игрок липецкого «Стинола». С сезона 2008/09 выступала за основной состав.
С 2010 — игрок команды «Факел» (Новый Уренгой).