С пяти лет она начала заниматься фигурным катанием. Однако, увидев выступления и тренировки девушек, занимающихся художественной гимнастикой, заинтересовалась этим видом спорта. В 8 лет отец записал её в секцию художественной гимнастики (район Измайлово, города Москвы). И после трёх лет занятий она перевелась в специализированную спортивную среднюю школу Таганского района.
До 16 лет она тренировалась у известного тренера национальной школы художественной гимнастики Веры Силаевой, которая подготовила много известных гимнасток. Затем Юля Барсукова стала тренироваться у знаменитой Ирины Винер — главного тренера национальной сборной по художественной гимнастике. Но главный тренер не сразу оценила Юлию — девушка, якобы, не имела яркой индивидуальности, не улыбалась во время выступлений. Винер оставила гимнастку в команде только по просьбе хореографа национальной сборной Вероники Шатковой, которая утверждала, что глупо прогонять Юлию — «балерину от Бога». Впоследствии, выступая на различных международных соревнованиях, Юлия не раз получала неофициальные награды за выдающуюся хореографию. В том числе она получила неофициальное звание Мисс Большой Театр. Это произошло на праздновании пятнадцатилетия журнала «Балет», где Юлия выступала вместе со звёздами Большого Театра. Ее «Умирающий Лебедь» привел в восторг знаменитых танцовщиков, которые аплодировали Юлии стоя.
Чемпионка России (1998, 1999) в отдельных видах упражнениий, чемпионка мира (1999, 2000) и Европы (1999, 2000) в командном зачёте и в отдельных видах упражнений. Победитель Игр XXVII Олимпиады в Сиднее (2000) в личном многоборье.
После Олимпиады в Сиднее Юлия Барсукова ушла из большого спорта. Были попытки работать в балете на льду. В конце 2006 года принимала участие в проекте Первого Российского телеканала «Звезды на льду». Выступала за МГФСО Динамо
Показывая отличные результаты на многих российских и международных соревнования, спортсменка все же оставалась в команде «вторым номером» (после Алины Кабаевой). Иначе сложилась её судьба на Олимпийских играх 2000 года в Сиднее. Не только из-за грубейшей ошибки Кабаевой во время выполнения элемента с обручем, но и благодаря своим безупречным выступлениям Юлии удалось занять первое место в индивидуальной программе.