Доктор технических наук (1951), профессор (1953), действительный член Академии наук Украины (1961), заслуженный деятель науки УССР (1967), действительный член Академии наук СССР (1984), действительный член Научного общества имени Тараса Шевченко (1992), иностранный академик-корреспондент Академии наук в Болонье (Италия, 1971). Герой Социалистического Труда и Герой Украины.
Родился 3 января 1917 года в селе Шишаки (ныне Гоголевского района) Полтавской области.
В 1932 году экстерном окончил 7-летнюю школу в Киеве и поступил на работу на Киевский консервный завод. В 1938 году окончил 10-й класс средней школы и в этом же году поступил на механико-математический факультет Киевского государственного университета имени Т. Г. Шевченко.
В период учебы серьёзно относился к военным занятиям: в школе получил значок «Ворошиловский стрелок» 2-й степени, а в университете окончил снайперские курсы. Участник Великой Отечественной войны. 7 июля 1941 года был призван в армию и направлен в город Чугуев, в 39-й запасной автобронетанковый полк.
В октябре 1941 года вышел приказ наркома обороны С. К. Тимошенко о предоставлении отпуска всем студентам институтов 4-х и 5-х курсов для окончания учебы с последующим направлением их в военные училища и военные академии. Митропольский направился в Казахстан, куда в город Кзыл-Орда был эвакуирован Киевский университет. В марте 1942 года Юрий Митропольский успешно сдал все экзамены в Казахском государственном университете имени С. М. Кирова и был направлен в Рязанское артиллерийское училище в город Талгар, которое окончил в марте 1943 года и в звании лейтенанта был направлен на Степной фронт.
После демобилизации, с 1946 года — Ю. А. Митропольский работает в Академии наук Украины в городе Киеве. За это время работал младшим научным сотрудником (1946—1948), старшим научным сотрудником в Институте строительной механики АН УССР (1949—1951). С 1951 года трудился в Институте математики АН УССР: старший научный сотрудник (1951—1953), заведующий отделом (1953—1956), заместитель директора по научной части (1956—1958), директор института (1958—1988), почетный директор института (с 1988 года).
Одновременно с работой в Институте математики он возглавлял в президиуме АН УССР ряд отделений: физико-математических наук (1961—1963), математики, механики и кибернетики (1963—1982), математики и механики (1982—1986), математики (1986-1990).
С 1991 года был советником президиума Национальной академии наук Украины.
Жил в Киеве, умер 14 июня 2008 года, похоронен на Байковом кладбище.
Ученик Н. Н. Боголюбова. Основные работы связаны с развитием теории нелинейных колебаний, в том числе с развитием асимптотических методов нелинейной механики. Результаты исследований обобщены в около 300 научных публикациях в отечественных и зарубежных журналах и в 30 индивидуальных и коллективных монографиях, в том числе:
Научные результаты, полученные Ю. А. Митропольским, вошли в ряд фундаментальных отечественных и зарубежных монографий, в том числе:
Работал в Институте математики АН УССР. Член редколлегии журнала «Дифференциальные уравнения». Главный редактор Украинского математического журнала.
Подготовил 87 кандидатов наук.