Юрий Сапега родился и начинал играть в волейбол в городе Гродно. В 16-летнем возрасте был приглашён в ЦСКА, повторив спортивный путь своего старшего брата Александра, многократного чемпиона СССР и 2-кратного чемпиона Европы по волейболу. В 1984—1985 годах Юрий Сапега выступал в составе молодёжной сборной СССР, выигравшей под руководством Владимира Кондры первенства Европы и мира.
С 1986 по 1991 год играл в национальной сборной СССР, стал победителем Игр доброй воли-1986, Олимпийских игр в Сеуле-1988, дважды призёром чемпионатов мира и чемпионом Европы 1991 года. Считался одним из сильнейших нападающих первого темпа своего времени.
С 1991 года на протяжении трёх сезонов выступал в Италии в команде из Падуи, а сразу после завершения игровой карьеры, с 1994-го и по 1997 год работал в должности главного тренера «Падовы». В 1998 году вернулся в Россию.
В 1999 году Юрий Сапега вошёл в тренерский штаб мужской сборной России. Он являлся главным инициатором технического переоснащения сборной, использования новейших статистических баз данных. Под руководством Геннадия Шипулина, Владимира Кондры и Юрия Сапеги сборная России в 1999 году впервые в своей истории стала финалистом чемпионата Европы и победителем Кубка мира, а в 2000 году — серебряным призёром Олимпийских игр в Сиднее. В декабре 2000 года Юрию Сапеге было присвоено звание заслуженного тренера России.
С 2001 года он исполнял обязанности генерального менеджера сборной, в 2004 году был главным тренером второй сборной России в розыгрыше Евролиги. В сезоне-2003/04 возглавлял московское «Динамо», которое привёл к серебряным медалям Кубка и чемпионата России.
С 2004 года работал генеральным менеджером Всероссийской федерации волейбола. Он озвучивал идею создания профессиональной лиги и строительства специализированных тренировочных центров, реорганизовал систему проведения всероссийских соревнований, стремился к тому, чтобы волейбол в России стал коммерчески привлекательным видом спорта. 29 сентября 2005 года Юрий Николаевич Сапега скоропостижно скончался в Москве от сердечного приступа.
С 2006 года поочерёдно в Москве и Падуе проходят Мемориалы Юрия Сапеги с участием ветеранов сборных СССР и Италии. В Гродно разыгрывается международный юношеский турнир памяти Юрия Сапеги и его брата Александра, трагически погибшего в 1987 году. Именем Юрия Сапеги назван спортивно-оздоровительный комплекс «Волей Град» в селе Витязево Краснодарского края.