Юрий Варданян начал заниматься тяжелой атлетикой в 1970 году под руководством своего дяди Сергея Варданяна. В 1975-1976 годах стал чемпионом мира и Европы среди молодёжи в весовой категории до 75 кг. С 1977 года входил в состав национальной сборной СССР. Триумф Юрия Варданяна пришёлся на Олимпийские игры в Москве. Выступая в категории до 82,5 кг, он выиграл золотую медаль, установил пять мировых рекордов и первым из средневесов поднял по сумме двух упражнений 400 кг.
Оставаясь лидером в своей весовой категории в течение следующего олимпийского цикла, Юрий Варданян был явным фаворитом и Олимпийских игр в Лос-Анжелесе, но не смог принять в них участие из-за решения политического руководства СССР о бойкоте этих соревнований советскими спортсменами. В 1985 году Юрий Варданян выиграл свой последний чемпионат мира.
В том же году он был переизбран в Верховный совет Армянской ССР и сосредоточился на политической деятельности. С приходом к власти в Армении Армянского общенационального движения принял решение покинуть страну и с 1991 года проживает в США, где активно занимается тренерской и общественной деятельностью. В частности он тренирует своего сына Норайра (Норика) Варданяна, ставшего в 2008 году чемпионом США по тяжелой атлетике в весовой категории до 94 кг.
2 апреля 2009 - назначен советником Президента Армении.
Игорь Сосновский «Герои олимпийских игр. Юрик Варданян», Москва, 1984.