Юрий Бережко родился и вырос в Комсомольске-на-Амуре, начал играть под руководством своего отца, волейбольное образование продолжил в Ярославле, куда переехал в 16-летнем возрасте. Летом 2004 года подписал контракт со столичным «Динамо».
Не всегда попадая в стартовый состав московской команды, Юрий Бережко тем не менее сумел обратить на себя внимание главного тренера сборной России Зорана Гаича, включившего молодого доигровщика в заявку на Евролигу-2005. Дебют Юрия в сборной состоялся 25 июня 2005 года в матче с командой Финляндии (3:1).
Следующий вызов в сборную случился через год, и был во многом вынужденным: на чемпионате мира необходимо было как-то заменить травмированного Сергея Тетюхина, однако проявить себя в Японии Бережко не смог.
Зато новой возможностью закрепиться в стартовом составе национальной команды Юрий распорядился блестяще. К решающим матчам Мировой лиги-2007 в команде Владимира Алекно, потерявшей из травмы опытного Павла Абрамова, осталось только два доигровщика — Бережко и Александр Корнеев. Молодые волейболисты, никогда прежде в таких ответственных поединках не игравшие, мужественно выдержали приём, а Юрий был признан лучшим нападающим турнира и со 180 очками стал самым результативным в российской команде. Осенью 2007 года Бережко ярко сыграл на чемпионате Европы, вновь получив приз лучшему нападающему (60% эффективности в атаке), на Кубке мира являлся полноправным игроком стартового состава. Перед стартом чемпионата России Юрий Бережко был выбран капитаном столичного «Динамо».
В сборной России образца 2008 года Бережко, как правило, входил в игру с замены и внёс немалый вклад в её успешное выступление на Мировой лиге и Олимпийских играх, особенно в две победы над сборной Бразилии.
Помимо азартной, вариативной и эффективной игры в атаке и надёжного приёма козырем Юрия Бережко является мощная подача, в чём лишний раз смогли убедиться игроки казанского «Зенита», проводившие домашний матч чемпионата страны-2008/09 против «Динамо». В третьем сете казанцы вели с преимуществом в три очка, пока на подачу не вышел Юрий Бережко, превративший счёт 13:16 в 24:16. Одиннадцать подач подряд, в том числе 4 эйса,— достижение на столь высоком уровне невероятное.
В 2009 году Юрий Бережко выиграл приз лучшему подающему на чемпионате Европы, в котором сборная России финишировала на четвёртом месте. В 8 матчах ему удалось исполнить 12 подач навылет (в среднем за партию — 0,44 эйса).
В мае 2010 года Юрий Бережко подписал контракт с итальянской «Моденой» сроком на два года. По окончанию сезона 2010/11 волейболист вернулся в Россию и заключил контракт с «Зенитом».