Родился 9 ноября 1921 года в селе Красноармейское Донецкая область (УССР) в семье русского донского казака и гречанки . Вскоре семья переехала в Мариуполь. Начинал занятия гимнастикой во дворе на перекладине, затем в школьной секции. В школьные годы семья пережила трагедию: отец Виктора Чукарина был репрессирован в 1937 году. По окончании школы В. Чукарин поступил сначала в Мариупольский металлургический техникум, затем в Киевский техникум физической культуры. В 1940 году в Харькове Чукарин получает звание «Мастер спорта СССР».
В начале Великой Отечественной войны Чукарин ушёл на фронт добровольцем. Воевал в артиллерийской части. Попав в плен возле Полтавы, прошёл через 17 концентрационных лагерей, в том числе Бухенвальд. После войны работал во Львовском институте физкультуры, создал собственную школу гимнастики.
Скончался 25 августа 1984 года во Львове. Похоронен на Лычаковском кладбище.
С 1984 года имя спортсмена носит одна из улиц во львовском районе Сихов.