В молодости занимался толканием ядра и метанием диска. В бобслее с 1980 года. Выступал за спортивные общества «Варпа» и «Даугава» (Рига).
В 1984 году на Олимпиаде в Сараево Кипурс занял четвёртое место в двойках (с Айварсом Шнепстсом), уступив в споре за бронзу другому советскому экипажу — Зинтису Экманису и Владимиру Александрову. В четвёрках в Сараево Кипурс занял 6-е место (вместе с Марисом Пойкансом, Иварсом Берзупсом и Айварсом Шнепстсом).
В феврале 1988 года на Олимпиаде в Калгари 30-летний Кипурс вместе с разгоняющим Владимиром Козловым выиграли в двойках первую и единственную золотую медаль в бобслее в истории советского спорта, оставив позади 2 экипажа из ГДР. Через неделю в соревнованиях четвёрок Кипурс (вместе с Гунтисом Осисом, Юрисом Тоне и Владимиром Козловым) выиграл олимпийскую бронзу, лишь на 0,02 сек опередив экипаж из США.
В 1989 году на чемпионате мира в итальянском Кортина-д'Ампеццо Янис выиграл бронзу в двойках (с Алдисом Интлерсом). Это была вторая и последняя награда советских бобслеистов на чемпионатах мира за всю историю (до Кипурса также бронзу в двойках в 1985 году в итальянской Червинии выиграли Зинтис Экманис и Николай Жиров).
В 1992 году на Олимпиаде в Альбервиле нёс на церемонии открытия флаг Латвии, впервые с 1936 года выступавшей независимой командой.
Лучший спортсмен года в Латвии (1988).
После окончания спортивной карьеры стал тренером и успешно работал со сборными Швейцарии, США, Франции, Латвии. Подопечные Кипурса неоднократно занимали призовые места на Олимпийских играх, чемпионатах мира и Европы, на этапах Кубка мира.
Занимается строительным бизнесом (вместе с партнёром по «бронзовой» четвёрке Калгари-1988 Гунтисом Осисом).
Награждён орденом Виестура. Женат, 2 сына (Янис и Мартиньш) и 2 дочери (Анна и Яна).
Весной 2003 года Кипурс, работавший тогда во Франции, говорил, что «команду Латвии я навряд ли когда-нибудь буду тренировать. На то есть много причин, о которых я бы не хотел распространяться», а уже осенью 2004 года всё-таки возглавил сборную Латвии.