Абе Ленстра родился в Фрисландии. В двенадцатилетнем возрасте его заметил известный английский тренер Сидней Касл. Он хотел даже увести Абе с собой в «Хаддерсфилд Таун», но его не отпустил отец. В составе «Херенвена» Абе дебютировал в 16 лет. Перед первым матчем он забыл дома бутсы, и дебют пришлось отложить на неделю. За двадцать лет выступлений за «сердечных» он забил 523 гола. В матче с «Аяксом» 7 мая 1950 года, проигрывая за полчаса до финального свистка 1:5 «Херенвен» сумел не только отыграться, но и забить победный мяч. Два мяча провёл сам Абе, ещё три были забиты с его передач. Абе никогда не отличался скоростью. Он был превосходным техником и обладал потрясающей интуицией. Он всегда знал где нужно принять мяч и как им распорядится.
— говорил Абе Ленстра. В 1940 году Абе дебютировал в сборной Нидерландов, став первым фризом в её истории. Однажды тренер Карел Кауфман назвал его «упрямым фризским ослом», после чего Ленстра покинул национальную команду. Но конфликт удалось замять, и вскоре Абе стал лидером «оранжевых». Вместе с Фасом Вилкесом и Киком Смитом они составили ударное трио голландской сборной — Вилстра. Потом вместо Смита играл Кес Рейверс. На Олимпиаде 1948 года Абе сыграл два матча со сборными Ирландии и Великобритании. Первый матч голландцы выиграли 3:1, второй проиграли в дополнительное время 3:4. Ленстра с женой были самой популярной семейной парой в Голландии. Они рекламировали «Кока-Колу» и бульонные кубики, часто их фото размещались в журналах. Весной 1977 года у Абе Ленстры случился паралич, и он оказался прикован к инвалидной коляске. В сентябре 1985 года он умер. Его тело было кремировано.