Абраам Хашманян окончил Государственный институт физкультуры и спорта Армении, имеет тренерскую лицензию категории «А». Тренерские качества Хашманян начал осуществлять с момента завершения карьеры игрока в «Мике». Сезон проработал на должности старшего тренера, ещё сезон просто тренера. С 2004 года Хашманян работал ассистентом Сурена Барсегяна в ереванском «Арарате», за который провёл больший период игровой карьеры. Его тренерская деятельность совпала в период сумбура, который творился в стане гранда армянского футбола, но тем не менее Хашманян продолжал работать. А в середине чемпионата 2006 года, Хашманян сменил на посту главного тренера Сурена Барсегяна, отправленного в отставку. По окончании сезона 2006 основу «Арарата» расформировали, а в Премьер-лигу вышел «Арарат-2», который был переименован в «Арарат». Вместе с прежним «Араратом» закончилась тренерская деятельность в клубе и Хашманяна. В начале 2007 года была предложена должность старшего тренера в капанском «Гандзасаре». По ходу чемпионата в клубе сменилось несколько главных тренеров. Хашманян встал у руля в мае и руководил командой всего месяц. На посту главного тренера в «Гандзасаре» его сменил Самвел Петросян. В 2008 году перешёл в «Киликию», в которой с начала 2008 года по декабрь занимал должность старшего тренера. В декабре с поста главного тренера клуба ушёл Эдуард Маркаров, на его место был назначен Абраам Хашманян. Хашманяну, впервые за последние сезоны, удалось поднять команду с последнего места. В 2009 году команда занявшая последнее место в таблице понижалась в ранге. «Киликия», благодаря Хашманяну, заняла предпоследнее место и обезопасила себя от вылета в Первую лигу, который ей сулили ещё до старта чемпионата. В начале сезона 2010 года команда стартовала в чемпионате живо. В первых двух турах были добыты победы, после последовали вылет из Кубка и поражения в чемпионате. 20 апреля в СМИ появилась информация о том, что Хашманян днём ранее подал в отставку вместе со своим помощником Арменом Тонояном.
Руководство клуба в начале опровергло слухи об уходе Хашманяна, а после подтвердило отставку.
В середине июня Хашманян становится директором детско-юношеской школы футбольного клуба Бананц. Помимо этого, он является инструктором Федерации футбола Армении и преподает курсы лицензирования УЕФА категории «B» и «A».
20 декабря подписывает однолетний контракт с капанским «Гандзасаром». Сменив Альберта Сакрисяна по причине отсутствия у последнего лицензии категории «А».
Женат, имеет сына — Микаэль Хашманян, который является полузащитником и выступает за юношескую команду «Бананца» а также юниорскую сборную Армении (до 16 лет).