Абрам Давыдович родился 10 мая 1921 года в Мелитополе в семье мастера часового дела и домохозяйки. В 1932 году семья переехала в Ленинград. Столяр учился школах № 7, № 17 («Гимназия Мая»), № 1. В 16 лет участвовал в экспедиции известного археолога В. И. Равдоникаса на остров Олений.
В 1938 году поступил на Исторический факультет ЛГУ. Слушал лекции таких преподавателей как Б. Д. Греков, С. Н. Валк, Б. А. Романов и других выдающихся историков. Состоял в кружках при Эрмитаже. Наставником и, по словам Столяра, его «духовным отцом», стал археолог, искусствовед и будущий директор Эрмитажа Михаил Илларионович Артамонов.
В августе 1941 года Столяр ушел на войну, служил на Волховском и Ленинградском фронтах. Был политруком, комиссаром части. Награжден Орденом Отечественной войны II степени, медалью «За оборону Ленинграда».
В 1946 году вернулся на исторический факультет. На IV курсе опубликовал работу «Мариупольский могильник», которая внесла новшества в изучение первобытной истории Украины, получал именную стипендию. С 1948 по 1951 год — аспирант. В аспирантуре Столяр слушает лекции своего научного руководителя Артамонова, Мавродина, Петра Ефименко, Михаила Грязнова, Валка, Равдоникаса, С. Замятина и Бориса Пиотровского. В 1952 году на основе своего «Мариупольского могильника» защищает кандидатскую диссертацию.
С 1952 года Столяр заведует Научным отделом Ленинградского Дворца пионеров, с 1954 года — старший научный сотрудник Крымского филиала Академии наук Украинской ССР, а с 1956 года — старший научный сотрудник Государственного Эрмитажа.
В 1964 году Абрам Давыдович становится доцентом кафедры археологии исторического факультета ЛГУ, с тех пор на этой кафедре и преподаёт.
В 1972 году Михаил Илларионович Артамонов настоял на защите Столяром докторской диссертации. Она была защищена по теме «Происхождение изобразительного искусства Евразии». С 1972 по 1975 год — заведующий кафедрой археологии и руководитель секции археологии Головного совета по истории СССР. В 1974 году был избран профессором. Читал и читает до сих пор курсы по темам «История первобытного общества», «Основы археологии», «Первобытная культура» и ряд специальных курсов. Работал с аспирантами, в том числе, иностранными. Читал курсы по археологии в различных вузах СССР, Болгарии, Финляндии, Норвегии и Венгрии.
Столяр участвовал в 34 археологических экспедициях в таких разных районах как Приднепровье, Крым, Забайкалье, Сибирь, район Боломорья, тундра. Был начальником экспедиции на Дону и многих других. Столяру принадлежит открытие и изучение Васильевского могильника на левом берегу Днепра (1959 год), крепость IV века до н. э. Мешоко в Адыгее (1958—1965). Среди научных интересов Столяра и первобытная культура, датируемая 250 тысячелетиями назад. Столяр занимался палеографией Севера, Карелии.
В 1985 году вышла монография «Происхождение изобразительного искусства», отмеченная дипломом лауреата Университетской премии. В 1994 году Столяр организовал семинар к столетию В. И. Равдоникаса, а в 1998 году — М. И. Артамонова.
Столяр участвовал в написании сценариев научных фильмов, снял диафильм «Как родилось искусство», вел авторские телепередачи. Столяр был участником международных научных конгрессов в России, Финляндии, Швеции, Эстонии, выступал с докладами на конференциях, сотрудничал с ЮНЕСКО.
В 1996 году получил почетное звание «Заслуженный работник высшей школы Российской Федерации », получил награду «Почётный работник высшего профессионального образования Российской Федерации», в 2004 стал почётным профессором СПбГУ. Является почётным членом международного общества изучения истории первобытного искусства.
Абрам Давидович Столяр является автором более 230 работ, среди которых 28 работ на иностранных языках. Самые известные среди них:
Статьи об Абраме Столяре вошли в некоторые научные российские и международные сборники, также Столяру посвящены отдельные книги: