Родился в мае 1887 года в Кишинёве в семье каменщика, окончил четырёхклассное училище, занимался самообразованием. В революционном движении на юге России с 1904 года, в 1906—1907 годах — анархо-коммунист.
С 1907 года — в эмиграции во Франции и Швейцарии, работал электромонтёром, принимал участие в анархо-синдикалистском движении, член заграничной группы русских анархо-синдикалистов (партийный псевдоним — Рабочий Альфа, под этим именем сотрудничал в анархо-синдикалистском издании «Рабочее знамя»).
Вернулся в Россию после Февральской революции 1917 года, сотрудничал с большевиками, был председателем Павлоградского уездного Совета рабочих депутатов в Екатеринославской губернии. В 1918 году вступил в РКП(б).
В 1919—1922 годах был членом коллегии и заместителем наркома труда РСФСР, а в 1920 году одновременно исполнял обязанности заместителя председателя Главного комитета по всеобщей трудовой повинности. Участвовал в обсуждении ввоза иностранных рабочих в Россию: 8 июня 1920 года на заседании СНК внёс проект постановления «О порядке переселения рабочих из-за границы» (Малый Совнарком 9 июня 1920 года выделил на эти цели 350 млн рублей).
В 1922—1923 годах — заместитель председателя Уральского областного экономсовета; в 1923—1925 годах — нарком труда Украины, работник ЦК союза горнорабочих и ЦК союза строителей. С конца 1925 года работал в Госплане РСФСР, входил в его президиум, в последние годы жизни — заместитель председателя. На протяжении 1920-х годов регулярно публиковался в журнале «Вопросы труда».
Жил в Москве, где был арестован 2 ноября 1937 года, приговорён к высшей мере наказания 19 марта 1938 года и в тот же день расстрелян.
А. М. Аникст — автор ряда статей и книг по экономической статистике рынка труда в СССР, безработице и научной организации труда (НОТ), в том числе «Биржи труда и социализм» (1919), «Организация рабочей силы» (Москва, 1920), «Организация распределения рабочей силы» (1920), «Организация рынка труда за два года Советской власти» (1920), «Этапы развития Народного Комиссариата труда» (Москва, 1923), «Рынок труда в России» (1923), «Рабочая сила» (Москва, 1929), «Как Советская власть борется с безработицей» (1929), «Культурное строительство в пятилетке» (1930), а также «Воспоминания о В. И. Ленине» (Москва, 1933).
Жена А. М. Аникста — Ольга Григорьевна Аникст (1886—1959) — организатор профобразования в РСФСР, основатель и первый ректор Московского института новых (иностранных) языков (нынешний Московский государственный лингвистический университет).
Сын А. М. Аникста — Александр Абрамович Аникст (1910—1988) — русский советский литературовед, театровед, доктор искусствоведения. Автор многочисленных трудов по истории английской литературы, редактор и составитель многотомных собраний сочинений Шекспира и Бернарда Шоу, автор пятитомной «Истории учений о драме» (1967—1988).
Дочь А. М. Аникста — Ада Абрамовна Аникст (1915—2002) — инженер, директор лаборатории физико-механических испытаний завода пластмасс.
Сын А. М. Аникста — Дмитрий Абрамович Аникст (1927—2008) — советский геодезист, изобретатель в области геодезии и картографии, разработчик серии высокоточных советских теодолитов (в том числе астрономического теодолита ТА-05 для прицеливания космических аппаратов), ведущий конструктор московского ЦНИИ геодезии, аэрофотосъёмки и картографии, автор 5 монографий, в том числе «Высокоточные теодолиты» (1978), «Оптические системы геодезических приборов» (1981), «Высокоточные угловые измерения» (1987).
Внук А. М. Аникста — Михаил Александрович Аникст (p. 20 ноября 1938, Москва) — российский и британский (с 1990 года) книжный дизайнер и график, искусствовед, академик Академии графического дизайна.