Безикович был четвёртым ребенком в многодетной семье караимов Самуила Безиковича и Евы Савускан. Отец был ювелиром, владел собственным магазином, но после ограбления стал работать кассиром.
В 1908 году Безикович окончил Бердянскую гимназию и поступил на математическое отделение физико-математического факультета Санкт-Петербургского университета, где одним из его учителей был А. А. Марков. Окончив университет с дипломом 1-й степени в 1912 году, Безикович по предложению Маркова и Стеклова стал готовиться к получению профессорского звания. В марте 1915 года Безикович закончил сдачу магистерских экзаменов и опубликовал свою первую печатную научную работу по теории вероятностей. В 1916 году он женился на Валентине Витальевне Дойниковой, для чего перешел в православие. Став в 1917 году приват-доцентом Петроградского университета, Безикович был направлен в учрежденный в 1916 году Пермский университет в качестве экстраординарного профессора по кафедре математики физико-математического факультета.
В период гражданской войны, когда Пермь была занята войсками А. В. Колчака и часть профессорско-преподавательского состава эвакуировалась в Томск, Безикович был назначен ректором Пермского университета. В 1920 году Безикович вернулся в Петроград.
В ноябре 1924 г. Безикович получил Рокфеллеровскую стипендию для научных занятий за рубежом, но не получив разрешения властей на эту поездку, он, как и его коллега Я. Д. Тамаркин, решил нелегально покинуть Советскую Россию. Он перешел латвийскую границу, затем перебрался в Копенгаген. Рокфеллеровская стипендия дала ему возможность заниматься в течение года под руководством Харальда Бора исследованиями в области квазипериодических функций. Из Копенгагена Безикович отправился на несколько месяцев в Оксфорд к известному математику Г. Харди, после чего в течение года читал лекции в университете Ливерпуля. С 1927 года Безикович жил в Кембридже, где сначала работал лектором университета, а с 1930 — стал штатным сотрудником Тринити-колледжа. В 1950 году Безикович был приглашен на должность заведующего кафедрой математики, которую занимал до выхода на пенсию в 1958 г.
После выхода на пенсию Безикович в течение нескольких лет читал лекции как приглашенный профессор в различных университетах США.