Родился в семье служащего. Еврей. Член КПСС с 1942. Окончил среднюю школу во Владивостоке. В РККА с 1938. Окончил Батайскую военную авиационную школу в 1940.
В действующей армии с апреля 1942. К апрелю 1945 совершил 365 боевых вылетов на разведку и корректировку артиллерийского огня. Его экипаж сбил 4 самолёта противника. Звание Героя Сов. Союза присвоено 10.4.45.
После войны продолжал службу в ВВС. В 1949 году окончил Военно-воздушную академию. Командовал истребительным авиаполком МиГ-17 в составе Морской авиации Тихоокеанского флота. С 1965 года полковник А.А.Баршт – в запасе.
Жил в Ленинграде (ныне – Санкт-Петербург). Работал начальником Гражданской обороны крупного ленинградского завода, начальником учебно-летной базы Российского государственного гидрометеорологического университета, возглавлял планерный клуб. Являлся вице-президентом Северо-Западного регионального управления Федерации любителей авиации России, руководителем Северо-Западного отделения всероссийского фонда «Победа-1945». Похоронен на Никольском кладбище Алекандро-Невской лавры в Санкт-Петербурге.
Указом Президиума Верховного Совета СССР от 10 апреля 1945 года за успешное выполнение ответственных боевых заданий, проявленные при этом личное мужество и героизм, майору Баршту Абреку Аркадьевичу присвоено звание Героя Советского Союза с вручением ордена Ленина и медали «Золотая Звезда» (№5997).