А. Д. Салынский родился 9 сентября 1920 года в Смоленске. В 15 лет устроился работать на завод фрезеровщиком. Уехав из Смоленска, работал на стройках, в шахте № 8 треста Ростовуголь, на подземных работах.
В 1939 году был принят литсотрудником редакции смоленской газеты «Большевистская молодёжь». Работая в газете, Афанасий Дмитриевич поездил по Смоленщине, бывал в колхозах, на заводах, общался с людьми.
В 1940 году его призвали в РККА, служил в Литовской ССР. В армии он был заместителем политрука в школе младших командиров и секретарем комсомольского комитета отдельного батальона. Там же его застала война. Тогда же был направлен на работу в редакцию созданной в соединении красноармейской газеты «За советскую отчизну» (с сентября 1942 до 1946 года являлся её редактором). Печатался во многих фронтовых газетах.
После войны работал редактором Свердловского книжного издательства. Он писал очерки, сценарии небольших документальных фильмов.
В 1949 году Свердловский драматический театр поставил пьесу Салынского «Дорога первых» (режиссёр Ефим Брилль), которая в 1951 году в Московском драматическом театре пошла под названием «Братья».
В 1951 году Салынский принят в СП СССР.
В 1954 году поступил на Высшие литературные курсы Союза писателей в Москве. Во время учёбы он написал пьесы: «Забытый друг», «Хлеб и розы», «Барабанщица».
Секретарь правления СП СССР. Главный редактор журнала «Театр» (1972—1982) и с 1987 года.
А. Д. Салынский умер 22 августа 1993 года. Похоронен в Москве на Кунцевском кладбище.
Сын — кинорежиссёр Д. А. Салынский (р. 1946).
В своих театральных произведениях он описывал морально-этические конфликты и социальную проблематику.