Афанасий Григорьев родился крепостным. Вырос в Москве, обучался строительным ремёслам в семейной фирме Жилярди. Глава фирмы, Джованни (Иван Дементьевич) Жилярди, был штатным архитектором Воспитательного дома, Вдовьего дома и других общественных зданий. Вместе с Доменико, сыном Джованни, Григорьев учился у Франческо Кампорези в Экспедиции кремлёвского строения. Выкупил личную свободу в возрасте 22 лет.
В 1808—1847 — на государственной службе, вначале помощник архитектора, затем штатный архитектор Вдовьего дома на Кудринской площади. Продолжал сотрудничество с Доменико Жилярди — в восстановлении сгоревших зданий и в новых постройках — вплоть до его отъезда из России в 1832.
Большинство работ Григорьева этого периода выполнены совместно с Жилярди, выделить личный вклад каждого из двух архитекторов невозможно. Считается, что Григорьев и Жилярди — равноправные соавторы таких памятников, как усадьбы Суханово и Конный двор в Кузьминках, Опекунский совет на Солянке, усадьба Усачева на Земляном Валу. Помимо сотрудничества с Жилярди, Григорьев также завершил постройку храма Большого Вознесения у Никитских Ворот по проекту Осипа Бове. Восстановил городскую усадьбу Разумовских на Гороховом Поле (улица Казакова). Григорьеву нередко приписывается Храм Троицы Живоначальной в Вешняках, но академические источники не подтверждают это мнение. Брат — архитектор Дормидонт Григорьев.
Похоронен на Калитниковском кладбище в Москве.
Дом Хрущёва на Пречистенке, 12
Дом Лопухина на Пречистенке, 11
Храм Большое Вознесение у Никитских Ворот
Опекунский совет на Солянке