Родился 15 мая 1962 года в селе Эльхотово Северо-Осетинской АССР.
В 1979 году закончил Эльхотовскую среднюю общеобразовательную школу № 2. Трудовую деятельность начал на Северо-Осетинской студии телевидения в качестве помощника режиссёра, ассистента режиссёра, второго режиссёра на художественных и документальных фильмах «По следам Карабаира», «Кольцо старого шейха», «Мурад Кажлаев. Ритмы и годы». Одновременно вёл молодёжные программы на студии телевидения.
В 1981 году поступил в Северо-Осетинский государственный университет им. Коста Хетагурова на филологический факультет. В 1982 году поступает во Всесоюзный государственный институт кинематографии, в мастерскую народных артистов СССР кинорежиссёра С. А. Герасимова и актрисы Т. Ф. Макаровой.
С 1982 по 1987 годы — учёба во ВГИКе. За эти годы снял несколько короткометражных художественных фильмов: «Обида» (по рассказу В. Шукшина), «В купе», «Нет аэропорта»' (в двух последних выступил и как автор сценариев). В 1988 году прошёл стажировку на киностудии «Мосфильм» (руководитель стажировки Н. С. Михалков).
В 1989 году был приглашён на Центральное Телевидение, в студию художественных фильмов «Экран» для постановки своего первого художественного фильма «Короткая игра» по сценарию Алексея Тимма. В дебютном фильме снимались народные артисты СССР М. А. Глузский и З. М. Шарко, народные артисты России А. Е. Ливанов и Э. Е. Марцевич, В. В. Глаголева и Ю. В. Шлыков. Фильм был признан настолько успешным, что до официальной премьеры на Первом телеканале он вышел в кинопрокат и впервые в истории телевизионного кино окупил затраты на производство в десятки раз.
В 1991 году снимает свой новый полнометражный художественный фильм «Между воскресеньем и субботой», в котором снялись: Н. Н. Фатеева, Эдуард Марцевич, Вера Глаголева. Аким Салбиев в своём фильме исполнил одну из главных ролей.
С 1992 по 1997 год работает ведущим комментатором, режиссёром-постановщиком, руководителем и автором проектов «Звёздная гостиная Акима Салбиева» и «Ночное рандеву» на телерадиокомпании «Возрождение XXI век».
Одновременно в эти годы Аким Салбиев снимает цикл документальных фильмов для Первого канала: «Сергей Бондарчук. Последнее интервью», «Ален Делон — кинозвезда», «Жан-Поль Бельмондо. Баловень судьбы», «Хулио Иглесиас в России», «Майкл Джексон в Москве» и другие.
В 1995 году Республика Северная Осетия — Алания удостаивает Акима Салбиева звания народного артиста Республики за цикл фильмов о выдающихся людях — выходцах из Осетии.
С ноября 1997 года по настоящее время является продюсером, режиссёром-постановщиком, руководителем спецпроектов, художественным руководителем Государственного музея А. С. Пушкина.
В год 200-летия со дня рождения А. С. Пушкина торжественные вечера, гала-концерты, фестивали, посвящённые юбилею, прошли в постановке и под общим художественным руководством Акима Салбиева.
С 2000 года становится Президентом Фонда поддержки и развития российского кино «Киноакадемия» и проводит ежегодный Открытый российский и международный кинофестиваль «Владикавказ» в Республике Северная Осетия — Алания.
В 2004 году за книгу «Небесные племена» удостоен премии «Лучшее перо России». В том же году получает звание народного артиста Республики Южная Осетия.
Указом Президента РФ Аким Салбиев был удостоен звания заслуженного деятеля искусств Российской Федерации (2006). Член Союза кинематографистов и Союза журналистов России.