Родился в еврейском местечке Молодечно Виленской губернии, ходил в традиционный хедер. В начале Первой мировой войны семья после изгнания царским правительством из прифронтовой полосы переезжает в Тамбов. В 1918 году предприняли попытку вернуться в Молодечно, но местечко уже было заграницей — в Польше.. С 1918 года жил в Минске, зарабатывал на жизнь рекламными плакатами для кинотеатров, окончил реальное училище. По некоторым сведениям,учился у Пэна в Витебске до войны, возможно и после. Но дочь художника эти сведения не поддерживает. В 1919—1920 служил чертежником Управления связи Красной Армии.
В 1920-х годах учился во ВХУТЕМАСе. Затем преподавал в ВХУТЕИНе (Высшем художественно-техническом институте) и Текстильном институте (1928—1932). Был членом общества «4 искусства», вступил в Московский Союз художников в 1932 году. В 1930-1931 годах дважды посетил сельско-хозяйственную коммуну «Войо Ново» (названа на эсперанто), основанную евреями, вернувшимися из Палестины, наблюдения и зарисовки в коммуне оказали сильное влияние на дальнейшее творчество художника. Начиная с 1931 года, попал вместе с многоми известными художниками под кампанию по борье с формализмом, хотя ещё в 1934 году его картины выставлялись во Франции. Порицался в советских газетах за пессимизм, набросочность, деформации, незаконченность, экспрессионизм и даже близость к Модильяни. Вынужден был перейти к иллюстрации книг и работе в театре. В частности, работал в белорусском ГОСЕТе (Государственном еврейском театре), иногда и в московском ГОСЕТе.
В 1941 году семья Аксельрода была эвакуирована в Тамбов, где семья Аксельродов была и в время Первой мировой войны. Сам Меер Аксельрод остался в Москве, пытаясь узнать о судьбе арестованного брата, поэта Зелика, и ожидая призыва в армию. Вскоре после мобилизации был отозван Сергеем Эйзенштейном для работы в съемочной группе фильма «Иван Грозный» в Алма-Ате, о дороге туда забрал семью из Тамбова. Был в эвакуации в Алма-Ате в 1941—1943, где оказывал поддержку еврейским беженцам из Польши. В 1944 году в Алма-Ате состоялась персональная выставка Аксельрода.
После войны участвовал в групповой выставке в Москве на Кузнецком мосту в 1966 году, там было экспонировано около 250 картин. После выставки сразу оказался в больнице из-за сердца. В 1968 году состоялась персональная выставка в (Ростове-на-Дону). Аксельрод скончался от нераспознанного инфаркта в 1970 году, так и не увидев вышедшего из печати каталога персональной выставки. Художник похоронен на старой, еврейской части Востряковского кладбища в Москве.
Персональные выставки: , 1972 (Москва, посмертно), 1973 (Ленинград, посмертно), 1982 (Москва, посмертно). Посмертные выставки в 1990-х гг. и 2000-х гг. в Москве, Нью-Йорке, Лондоне, Германии, Израиле.
Многие картины М. Аксельрода посвящены сюжетам из жизни российских евреев, серия «Гетто» (1968-1969), серия «В степи» - по впечатлениям от поездки в сельскохозяйственную еврейскую коммуну в Крыму в 1930—1931. Автор серии картин «Воспоминания о старом Минске». Елена Аксельрод, дочь художника, издала в Иерусалиме альбом-монографию художника (1993 год) и в Москве книгу воспоминаний и писем «Двор на Баррикадной» (2008 год). Творчество Аксельрода высоко ценил поэт Арсений Тарковский: «Это прекрасный пример того, как выгодно быть честным и чистым человеком… Вы видите совершенно наглядно, какие прекрасные плоды это приносит, как дорого то, что делается людьми такого рода, которые с подлинно святым упрямством, с железной волей пробиваются сквозь все преграды».
Произведения Меера Аксельрода хранятся в Третьяковской галерее, Русском музее, музее изобразительных искусств имени А. С. Пушкина.
Брат — поэт Зелик Аксельрод, был расстрелян в 1941 году в возрасте 37 лет, Зелик познакомил Меера с поклонницей своего творчества еврейской писательницей Ривкой Рубиной, которая и стала женой Меера. Их дочь — поэт Елена Аксельрод, внук — художник Михаил Яхилевич. Художник часто изображал своих близких на картинах: жену, дочь, брата и даже внука.