Является основателем и бессменным лидером международно известного тувинского музыкального коллектива Ят-Ха, существующего с конца 1980-х — начала 1990-х годов по сей день.
Окончил Кызылское училище искусств по классу гитары и народных инструментов. Несколько лет работал в различных коллективах Тувинской Госфилармонии.
Кувезин был в 1992 году одним из основателей тувинской группы Хуун Хуур Ту, которую покинул в 1993 году.
Кроме участия в группах Ят-Ха и Хуун Хуур Ту, Кувезин так же сотрудничал с группами Алиса (песня «Пляс Сибири» из альбома «Дурень» 1997 года), Susheela Raman и V?rttin?.
Артемий Троицкий сказал про него: «На земле есть два уникальных голоса, и они принадлежат Паваротти и Кувезину».
15 апреля 2009 Альберту Кувезину за «За заслуги в области культуры и музыкального искусства, многолетнюю творческую деятельность» присвоено звание заслуженного артиста республики Тыва.