Коутс родился в Санкт-Петербурге, Российская империя, младший из семи сыновей английского отца и русской матери.
Учился в консерватории в Лейпциге, где его основным учителем был Артур Никиш. Работал в Опере Земпра в Дрездене и был дирижёром в Мариинском театре, Санкт-Петербург. После прихода большевиков он с трудом уехал из России в апреле 1919.
Альберт Коутс дебютировал в Королевском театре Ковент-Гарден, Лондон в 1914 с оперой Рихарда Вагнера «Tristan und Isolde».
В 1920-х и начале 1930-х он часто работал с Лондонским симфоническим оркестром. Он был дирижёром в 1930 году, премьера записи Рахманинова в Фортепианный концерт № 3 ре минор, с участием Владимира Горовица в качестве солиста.
В 1925 он продирижировал первой постановкой оперы Римского-Корсакова «Сказание о невидимом граде Китеже и деве Февронии» за пределами России.
Его композиции включают оперы Samuel Pepys и Pickwick, концерт фортепьяно и симфоническое стихотворение The Eagle, посвящённый памяти о его прежнем учителе Артуре Никиш, которое было исполненно в Лидсе в 1925. В 1946 он обосновался в Кейптауне, ЮАР, где умер в 1953.